Utilize o Método dos Mínimos Quadrados e Fatoração LU para obter o polinômio \mathrm{g}(\mathrm{x}), de grau \leq 2, que melhor se ajusta aos dados da tabela abaixo.
x -2 -1 0 1 2
\mathrm{f}(\mathrm{x}) 3 0 -1 0 3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, por mínimos quadrados, um polinômio de grau \le2 que ajuste melhor os pontos (-2,3), (-1,0), (0,-1), (1,0) e (2,3). Vamos usar as equações normais \,A^T A \,\boldsymbol{p} = A^T \boldsymbol{f}, onde \boldsymbol{p}=(a,b,c)^T são os coeficientes do polinômio g(x)=a x^2 + b x + c, e em seguida resolver esse sistema por fatoração LU.

Passo 2

Definimos a matriz de projeto
A = \begin{pmatrix} (-2)^2 & -2 & 1\\\ (-1)^2 & -1 & 1\\\\ 0^2 & 0 & 1\\\\ 1^2 & 1 & 1\\\\ 2^2 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{f} = \begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ -1\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix}.
Calculamos os somatórios necessários:
\sum x_i = 0,\quad \sum x_i^2=10,\quad \sum x_i^3=0,\quad \sum x_i^4=34,
\sum f_i = 5,\quad \sum x_i f_i = 0,\quad \sum x_i^2 f_i = 24.

Passo 3

As equações normais \,A^TA\,\boldsymbol{p}=A^T\boldsymbol{f} geram o sistema
\begin{pmatrix} 34 & 0 & 10\\\\ 0 & 10 & 0 \\\\ 10 & 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}24\\\ 0\\\ 5\end{pmatrix}.
Chamemos essa matriz de M e o vetor do lado direito de \boldsymbol{d}.

Passo 4

Fatoramos M em M=LU pelos passos de Doolittle:
\displaystyle L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\ \frac{5}{17} & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix} 34 & 0 & 10\\\\ 0 & 10 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac{35}{17} \end{pmatrix}.

Passo 5

Resolvemos L\boldsymbol{y}=\boldsymbol{d}:
\,y_1=24,\;y_2=0,\;y_3=5-\tfrac{5}{17}\cdot24=-\tfrac{35}{17}.
Em seguida U\boldsymbol{p}=\boldsymbol{y}
\tfrac{35}{17}\,c = -\tfrac{35}{17}\implies c=-1,\quad 10\,b=0\implies b=0,\quad 34\,a + 10\,c=24\implies a=1.

Resposta

g(x)=x^2 - 1

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