5- Obtenha uma aproximação para o valor da integral
\int_{1}^{3} \frac{d x}{x}
utilizando a Regra dos Trapézios, com dois sub-intervalos.
Determine o menor número de sub-intervalos em que devemos dividir o intervalo [1,3] para que |E| \leq 0.001.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
– Aproximar
\int_{1}^{3}\frac{dx}{x}
usando a Regra dos Trapézios com n=2 sub-intervalos.
– Encontrar o menor n tal que o erro E satisfaça |E|\le0,001.
O conteúdo envolvido é Integração Numérica pela Regra dos Trapézios e o estimador de erro baseado em f''.

Passo 2

Para n=2 dividimos [1,3] em dois sub-intervalos de tamanho
h = \frac{3-1}{2} = 1.
Os nós são x_0=1, x_1=2, x_2=3 e
f(x)=\frac1x \quad\Longrightarrow\quad f(x_0)=1,\;f(x_1)=\tfrac12,\;f(x_2)=\tfrac13.
A Regra dos Trapézios diz
T_2 = h\Bigl[\frac{f(x_0)+f(x_2)}{2} + f(x_1)\Bigr] =1\Bigl[\frac{1+\tfrac13}{2} + \tfrac12\Bigr] =\frac{1+\tfrac13}{2}+\tfrac12 =\frac{2{,}3333}{2}+0{,}5 =1{,}1667.

Passo 3

O erro da Regra dos Trapézios satisfaz
|E_T|\le \frac{K\,(b-a)^3}{12\,n^2},
onde K=\max_{x\in[1,3]}|f''(x)|.

Passo 4

Aqui f(x)=1/x
f'(x)=-\frac1{x^2},\quad f''(x)=\frac{2}{x^3}.
Em [1,3] o valor máximo de |f''(x)| ocorre em x=1, logo K=2.
Então
|E_T|\le\frac{2\,(3-1)^3}{12\,n^2} =\frac{2\cdot8}{12\,n^2} =\frac{16}{12\,n^2} =\frac{4}{3\,n^2}.

Passo 5

Queremos \frac{4}{3\,n^2}\le0{,}001. Então
n^2\ge\frac{4}{3\cdot0{,}001}=\frac{4}{0{,}003}\approx1333{,}33 \quad\Longrightarrow\quad n\ge\sqrt{1333{,}33}\approx36{,}51.
O menor inteiro que atende é n=37.

Resposta

Aproximação com n=2:
T_2 = 1,1667.
Para |E|\le0{,}001 precisamos de, pelo menos,
n = 37
sub-intervalos.

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