Utilizando a tabela abaixo e a fórmula de Newton, obtenha o polinomio \mathrm{P}(\mathrm{x}), de grau \leq 2, que interpola a função f(x)=\operatorname{sen}(x) no intervalo [0, \pi], e obtenha um limitante superior para o erro cometido em \overline{\mathrm{x}}=\frac{3 \pi}{4}.
x 0 \pi / 2 \pi
\operatorname{sen}(\mathrm{x}) 0 1 0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de grau \le2 que interpola a função \sin x nos pontos
x_{0}=0,\quad x_{1}=\frac{\pi}{2},\quad x_{2}=\pi
com valores
f(x_{0})=0,\quad f(x_{1})=1,\quad f(x_{2})=0.
Para isso vamos usar a fórmula de Newton para interpolação de grau 2 e, em seguida, estimar o erro no ponto \overline{x}=3\pi/4 via o termo de resto de Lagrange.

Passo 2

Calculamos as diferenças divididas necessárias:
f[x_{0}]=f(0)=0,
f[x_{0},x_{1}]=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}} =\frac{1-0}{\tfrac{\pi}{2}-0}=\frac{2}{\pi},
f[x_{1},x_{2}]=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} =\frac{0-1}{\pi-\tfrac{\pi}{2}}=-\frac{2}{\pi},
f[x_{0},x_{1},x_{2}] =\frac{f[x_{1},x_{2}]-f[x_{0},x_{1}]}{x_{2}-x_{0}} =\frac{-\tfrac{2}{\pi}-\tfrac{2}{\pi}}{\pi-0} =-\frac{4}{\pi^{2}}.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Newton de grau 2:
P_{2}(x) = f[x_{0}] + f[x_{0},x_{1}]\,(x-x_{0}) + f[x_{0},x_{1},x_{2}]\,(x-x_{0})(x-x_{1}).
Substituindo os valores:
P_{2}(x) = 0 + \frac{2}{\pi}\,x - \frac{4}{\pi^{2}}\;x\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 4

Agora simplificamos em forma polinomial clássica:
P_{2}(x) =\frac{2}{\pi}x -\frac{4}{\pi^{2}}\bigl(x^{2}-\tfrac{\pi}{2}x\bigr) =\frac{4}{\pi}x-\frac{4}{\pi^{2}}\,x^{2}.

Passo 5

O erro de Lagrange para grau 2 é
R_{2}(x) =\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}),
para algum \xi\in[0,\pi]. Como f(x)=\sin x tem f^{(3)}(x)=-\cos x e \bigl|\!-\cos x\bigr|\le1, temos
\bigl|R_{2}(x)\bigr|\le\frac{1}{6}\,\bigl|x\,(x-\tfrac{\pi}{2})(x-\pi)\bigr|.
Para x=\tfrac{3\pi}{4} calcula-se
\bigl|R_{2}(\tfrac{3\pi}{4})\bigr|\le \frac{1}{6}\,\Bigl|\tfrac{3\pi}{4}\cdot\tfrac{\pi}{4}\cdot\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr| =\frac{1}{6}\,\frac{3\pi^{3}}{64} =\frac{\pi^{3}}{128}.

Resposta

O polinômio interpolador é
P(x)=\frac{4}{\pi}x-\frac{4}{\pi^{2}}\,x^{2}
e um limitante superior para o erro em \overline{x}=3\pi/4 é
|f(\overline{x})-P(\overline{x})|\le\frac{\pi^{3}}{128}.

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