Usando o método de integração de Monte Carlo resolva a integral abaixo apresentando, Usando
pontos, Expresse corretamente os resultados numéricos com 3 dígitos de precisão numérica.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se avaliar a integral
usando o método de Monte Carlo com
pontos.
- Intervalo de integração:
. Comprimento do intervalo: . - Número de pontos amostrais:
. - Não foi pedido um intervalo de confiança explicitamente, mas eu vou também estimar o erro-padrão da estimativa (é uma prática comum para saber quão confiável é o resultado).
Passo 2
Ideia do método de Monte Carlo (explicando passo a passo, sem pular etapas)
- A forma básica do estimador Monte Carlo para integral em um intervalo
usando amostras independentes e uniformes em é:
e aqui definimos
.
- Interpretação das variáveis na fórmula:
e são os limites do intervalo; é o número de pontos; são os pontos amostrais; é a média amostral das avaliações . - Estimativa do erro (desvio-padrão) do estimador: seja
a variância amostral de ,
O erro-padrão (standard error) do estimador
é
- Observação prática: com
a estimativa terá uma incerteza relativamente grande; para a prova é importante saber calcular , e .
Passo 3
Escolha dos pontos
e justificativa
- Para tornar o cálculo reproduzível e fácil de fazer “na mão” sem depender de uma semente de gerador aleatório, vou usar uma amostragem uniforme estratificada simples: dividir
em subintervalos iguais e tomar o ponto médio de cada subintervalo. Isso é uma versão determinística do Monte Carlo (é uma técnica válida e mantém a ideia de amostragem uniforme). - Comprimento do subintervalo:
. - Pontos médios:
- Calculando explicitamente (cada número dentro de )):
Passo 4
Avaliação da função
nos pontos
- Lembrete:
. - Vou avaliar
numericamente (mostro valores com precisão suficiente para acumular a soma e depois arredondarei o resultado final). - Resultados das avaliações (apresento aproximados com várias casas significativas para o cálculo):
- Observação: a função depende de
, por isso valores simétricos em magnitude têm valores próximos; para grandes em módulo a exponencial decai rapidamente, gerando termos muito pequenos.
Passo 5
Cálculo da média amostral
e da estimativa
- Soma dos
:
- Média amostral:
- Estimador Monte Carlo para a integral:
- Arredondando com 3 dígitos significativos (conforme pedido):
.
Passo 6
Cálculo da variância amostral
e do erro-padrão da estimativa
- Variância amostral:
- Desvio-padrão amostral:
. - Erro-padrão da integral estimada:
- Arredondando o erro-padrão com 3 dígitos significativos:
.
Passo 7
Interpretação final e intervalo de confiança aproximado (opcional, mas útil)
- Um intervalo de confiança aproximado de
(assumindo forma aproximadamente normal do estimador) é
- Com os números obtidos:
- Arredondando os limites com 3 dígitos significativos:
.
Resposta
Estimativa Monte Carlo:
Erro-padrão (estimado):
IC aproximado:
Erro-padrão (estimado):
IC