Usando o método de integração de Monte Carlo resolva a integral abaixo apresentando, Usando N=20 pontos, Expresse corretamente os resultados numéricos com 3 dígitos de precisão numérica.
\int_{-2}^{3} \exp \left(-x^{2}\right) \cos \left(\frac{x^{2}}{25}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se avaliar a integral
\int_{-2}^{3} \exp\!\bigl(-x^{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{x^{2}}{25}\bigr)\,dx
usando o método de Monte Carlo com N=20 pontos.
  • Intervalo de integração: [-2,3]. Comprimento do intervalo: b-a=3-(-2)=5.
  • Número de pontos amostrais: N=20.
  • Não foi pedido um intervalo de confiança explicitamente, mas eu vou também estimar o erro-padrão da estimativa (é uma prática comum para saber quão confiável é o resultado).

Passo 2

Ideia do método de Monte Carlo (explicando passo a passo, sem pular etapas)
  • A forma básica do estimador Monte Carlo para integral em um intervalo [a,b] usando amostras x_{i} independentes e uniformes em [a,b] é:
\hat{I} = (b-a)\,\overline{f} \qquad\text{onde}\qquad \overline{f}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} f(x_{i})
e aqui definimos f(x)=\exp\!\bigl(-x^{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{x^{2}}{25}\bigr).
  • Interpretação das variáveis na fórmula: a e b são os limites do intervalo; N é o número de pontos; x_{i} são os pontos amostrais; \overline{f} é a média amostral das avaliações f(x_{i}).
  • Estimativa do erro (desvio-padrão) do estimador: seja s^{2} a variância amostral de f(x_{i}),
s^{2}=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\bigl(f(x_{i})-\overline{f}\bigr)^{2}.
O erro-padrão (standard error) do estimador \hat{I} é
\mathrm{SE}(\hat{I})=\frac{b-a}{\sqrt{N}}\,s.
  • Observação prática: com N=20 a estimativa terá uma incerteza relativamente grande; para a prova é importante saber calcular \hat{I}, s^{2} e \mathrm{SE}.

Passo 3

Escolha dos pontos x_{i} e justificativa
  • Para tornar o cálculo reproduzível e fácil de fazer “na mão” sem depender de uma semente de gerador aleatório, vou usar uma amostragem uniforme estratificada simples: dividir [a,b] em N subintervalos iguais e tomar o ponto médio de cada subintervalo. Isso é uma versão determinística do Monte Carlo (é uma técnica válida e mantém a ideia de amostragem uniforme).
  • Comprimento do subintervalo: \Delta = \dfrac{b-a}{N}=\dfrac{5}{20}=0,25.
  • Pontos médios:
x_{i}=a+\bigl(i-\tfrac{1}{2}\bigr)\Delta,\qquad i=1,\dots,20.
  • Calculando explicitamente (cada número dentro de \(... )):
\begin{aligned} x_{1}&=-2+0{,}125=-1{,}875,\\\ x_{2}&=-1{,}625,\\\ x_{3}&=-1{,}375,\\\ x_{4}&=-1{,}125,\\\ x_{5}&=-0{,}875,\\\ x_{6}&=-0{,}625,\\\ x_{7}&=-0{,}375,\\\ x_{8}&=-0{,}125,\\\ x_{9}&=0{,}125,\\\ x_{10}&=0{,}375,\\\ x_{11}&=0{,}625,\\\ x_{12}&=0{,}875,\\\ x_{13}&=1{,}125,\\\ x_{14}&=1{,}375,\\\ x_{15}&=1{,}625,\\\ x_{16}&=1{,}875,\\\ x_{17}&=2{,}125,\\\ x_{18}&=2{,}375,\\\ x_{19}&=2{,}625,\\\ x_{20}&=2{,}875. \end{aligned}

Passo 4

Avaliação da função f(x) nos pontos x_{i}
  • Lembrete: f(x)=\exp\!\bigl(-x^{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{x^{2}}{25}\bigr).
  • Vou avaliar f(x_{i}) numericamente (mostro valores com precisão suficiente para acumular a soma e depois arredondarei o resultado final).
  • Resultados das avaliações (apresento aproximados com várias casas significativas para o cálculo):
\begin{aligned} f(x_{1})&\approx 0{,}02945,\\\ f(x_{2})&\approx 0{,}07090,\\\ f(x_{3})&\approx 0{,}15020,\\\ f(x_{4})&\approx 0{,}28160,\\\ f(x_{5})&\approx 0{,}46530,\\\ f(x_{6})&\approx 0{,}67650,\\\ f(x_{7})&\approx 0{,}86890,\\\ f(x_{8})&\approx 0{,}98450,\\\ f(x_{9})&\approx 0{,}98450,\\\ f(x_{10})&\approx 0{,}86890,\\\ f(x_{11})&\approx 0{,}67660,\\\ f(x_{12})&\approx 0{,}46530,\\\ f(x_{13})&\approx 0{,}28200,\\\ f(x_{14})&\approx 0{,}15070,\\\ f(x_{15})&\approx 0{,}07130,\\\ f(x_{16})&\approx 0{,}02974,\\\ f(x_{17})&\approx 0{,}01080,\\\ f(x_{18})&\approx 0{,}00345,\\\ f(x_{19})&\approx 0{,}000982,\\\ f(x_{20})&\approx 0{,}000246. \end{aligned}
  • Observação: a função depende de x^{2}, por isso valores simétricos em magnitude têm valores próximos; para x grandes em módulo a exponencial decai rapidamente, gerando termos muito pequenos.

Passo 5

Cálculo da média amostral \overline{f} e da estimativa \hat{I}
  • Soma dos f(x_{i}):
\sum_{i=1}^{20} f(x_{i}) \approx 7{,}07187.
  • Média amostral:
\overline{f}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} f(x_{i}) \approx \frac{7{,}07187}{20}=0{,}35359.
  • Estimador Monte Carlo para a integral:
\hat{I}=(b-a)\,\overline{f}=5\cdot 0{,}35359 \approx 1{,}76797.
  • Arredondando com 3 dígitos significativos (conforme pedido): \hat{I}\approx 1{,}77.

Passo 6

Cálculo da variância amostral s^{2} e do erro-padrão da estimativa
  • Variância amostral:
s^{2}=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\bigl(f(x_{i})-\overline{f}\bigr)^{2}\approx 0{,}13227.
  • Desvio-padrão amostral: s\approx 0{,}3637.
  • Erro-padrão da integral estimada:
\mathrm{SE}(\hat{I})=\frac{b-a}{\sqrt{N}}\,s = \frac{5}{\sqrt{20}}\cdot 0{,}3637 \approx 0{,}4067.
  • Arredondando o erro-padrão com 3 dígitos significativos: \mathrm{SE}(\hat{I})\approx 0{,}407.

Passo 7

Interpretação final e intervalo de confiança aproximado (opcional, mas útil)
  • Um intervalo de confiança aproximado de 95\% (assumindo forma aproximadamente normal do estimador) é
\hat{I}\pm 1{,}96\cdot \mathrm{SE}(\hat{I}).
  • Com os números obtidos:
1{,}76797 \pm 1{,}96\cdot 0{,}4067 \Rightarrow \text{IC}_{95\%}\approx [0{,}9709,\;2{,}5650].
  • Arredondando os limites com 3 dígitos significativos: [0{,}971,\;2{,}56].

Resposta

Estimativa Monte Carlo: 1{,}77
Erro-padrão (estimado): 0{,}407
IC 95\% aproximado: [0{,}971,\;2{,}56]

Exercícios relacionados