Determine a raiz de f(x)=cos (x)+ln (x)+x, considerando a tolerância varepsilon=10^-2 e circ intervalo x in [ 0, 25 ; 0,31 ], utilizando os Métodos da Bisseção e das Cordas. Usar no mínimo 4 casas decimais e definir a métrica de erro como sendo erro =|f(xk+1)|. Faça um comentário final sobre o que vocé observou a partir das respostas.
Obs.:
Interpretação do que foi pedido: 0,5
uso correto da fórmula de recorrência da bisseção: 0,5
uso correto da fórmula de recorrência de cordas: 0,5
uso correto do critério de parada: 0,5
contas corretas: 0,5
comentário final: 0,5

Passo 1

O exercício pede pra gente achar a raiz da função
f(x)=cos(x)+ln(x)+x
no intervalo , com tolerância , usando os Métodos da Bisseção e das Cordas (falsa posição).
Conteúdo: método numérico de localização de raízes (teorema do valor intermediário), fórmula de iteração da bisseção e das cordas, critério de parada .

Passo 2

Resolvendo pelo método da Bisseção:
  1. Verificamos que f(0,25)=cos(0,25)+ln(0,25)+0,25approx -0,1674, f(0,31)approx+0,0898, ou seja, sinais opostos ⇒ existe raiz no intervalo.
  2. A cada iteração pegamos o ponto médio ck=ak+bk2, f(ck), e escolhemos o subintervalo c1=0,25+0,312=0,28, f(0,28)approx -0,0327;(<0), ou c2=0,28+0,312=0,295, f(0,295)approx +0,0310;(>0), onde c3=0,28+0,2952=0,2875, f(0,2875)approx +0,00029, muda de sinal. Paramos quando .
  3. Iterações:
    • k=1: troca-se .
    • k=2: troca-se .
    • k=3: e , então parámos.

Passo 3

Resolvendo pelo método das Cordas (falsa posição):
  1. Fórmula de iteração xk+1 =bk-;f(bk),bk-akf(bk)-f(ak)
  2. Começando em x1 =0,31 -0,0898cdot0,31-0,250,0898-(-0,1674) approx0,2890, , com
    f(0,2890)approx+0,0062, e , temose com , então já paramos na primeira iteração.

Passo 4

Comentário final:
O método da Bisseção precisou de 3 iterações até , enquanto a Falsa Posição convergiu em apenas uma iteração, mostrando que quando a função é “bem comportada” no intervalo, o método das Cordas costuma ser mais rápido que a Bisseção. Porém, a Bisseção é mais robusta porque nunca “trava” e garante redução regular do intervalo.

Resposta

  • Raiz pela Bisseção: .
  • Raiz pela Falsa Posição: .

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