Determine a raiz de , considerando a tolerância e intervalo [ 0, ], utilizando os Métodos da Bisseção e das Cordas. Usar no mínimo 4 casas decimais e definir a métrica de erro como sendo erro . Faça um comentário final sobre o que vocé observou a partir das respostas.
Obs.:
Interpretação do que foi pedido: 0,5
uso correto da fórmula de recorrência da bisseção: 0,5
uso correto da fórmula de recorrência de cordas: 0,5
uso correto do critério de parada: 0,5
contas corretas: 0,5
comentário final: 0,5
Passo 1
O exercício pede pra gente achar a raiz da função
no intervalo , com tolerância , usando os Métodos da Bisseção e das Cordas (falsa posição).
Conteúdo: método numérico de localização de raízes (teorema do valor intermediário), fórmula de iteração da bisseção e das cordas, critério de parada .
Passo 2
Resolvendo pelo método da Bisseção:
Verificamos que f(0,25)=cos(0,25)+ln(0,25)+0,25approx -0,1674, f(0,31)approx+0,0898, ou seja, sinais opostos ⇒ existe raiz no intervalo.
A cada iteração pegamos o ponto médio ck=ak+bk2, f(ck), e escolhemos o subintervalo c1=0,25+0,312=0,28, f(0,28)approx -0,0327;(<0), ou c2=0,28+0,312=0,295, f(0,295)approx +0,0310;(>0), onde c3=0,28+0,2952=0,2875, f(0,2875)approx +0,00029, muda de sinal. Paramos quando .
Iterações:
k=1: troca-se .
k=2:troca-se .
k=3:e , então parámos.
Passo 3
Resolvendo pelo método das Cordas (falsa posição):
Fórmula de iteração xk+1 =bk-;f(bk),bk-akf(bk)-f(ak)
Começando em x1 =0,31 -0,0898cdot0,31-0,250,0898-(-0,1674) approx0,2890, , com f(0,2890)approx+0,0062, e , temosecom , então já paramos na primeira iteração.
Passo 4
Comentário final:
O método da Bisseção precisou de 3 iterações até , enquanto a Falsa Posição convergiu em apenas uma iteração, mostrando que quando a função é “bem comportada” no intervalo, o método das Cordas costuma ser mais rápido que a Bisseção. Porém, a Bisseção é mais robusta porque nunca “trava” e garante redução regular do intervalo.