Utilize o método da Bisseç̧ão para determinar soluções com precisão de 10^-2 para a equação x^3-7 x^2+14 x-6=0 nos intervalos:
[1,3.2]

Passo 1

Beleza, vamos lá. Temos o exercício de Métodos Numéricos: “Usar o método da Bisseção pra achar uma solução de
x^3 - 7x^2 + 14x - 6 = 0
no intervalo com precisão .
O que vamos precisar:
  • Conhecer a função .
  • Saber que, se é contínua e muda de sinal entre e , existe raiz (Teorema de Bolzano).
  • Entender o passo a passo do método da bisseção: dividir o intervalo ao meio, ver o sinal em cada ponta e escolher o subintervalo que contém a raiz, até que o tamanho do intervalo seja menor que a tolerância.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o Teorema de Bolzano pra confirmar que tem raiz em f(1)=1-7+14-6=2>0,.
Calculamos:
f(3.2)=(3.2)^3-7(3.2)^2+14cdot3.2-6approx32.768-71.68+44.8-6approx-0.112<0
Como , há pelo menos uma raiz em .

Passo 3

A ideia do método da bisseção é: a cada iteração, calculo o ponto médio
m=a+b2
e avalio . Se , a raiz está em ; senão (isto é, ) ela está em . A gente repete até .

Passo 4

1ª iteração:
a=1, b=3.2 →
m1=tfrac1+3.22=2.1, f(2.1)approx1.791>0
Como m2=tfrac2.1+3.22=2.65, f(2.65)approx0.559>0 e têm sinais opostos, nova base é
.
2ª iteração:
a=2.1, b=3.2 →
Sinais de e opostos → novo intervalo .

Passo 5

3ª iteração:
a=2.65, b=3.2 →
m3=tfrac2.65+3.22=2.925, f(2.925)approx0.087>0
→ intervalo m4=tfrac2.925+3.22=3.0625, f(3.0625)approx-0.047<0.
4ª iteração:
a=2.925, b=3.2 →
→ intervalo .

Passo 6

5ª iteração:
a=2.925, b=3.0625 →
m5=2.99375, f(2.99375)approx0.0059>0
m6=3.028125, f(3.028125)approx-0.0303<0.
6ª iteração:
a=2.99375, b=3.0625 →
m7=3.0109375, f(3.0109375)approx-0.0115<0
m8=3.00234375, f(3.00234375)approx-0.0017<0.
7ª iteração:
a=2.99375, b=3.028125 →
.
Agora , então mais uma:
8ª iteração:
a=2.99375, b=3.0109375 →
.
Aqui , atingimos a precisão desejada.

Resposta

Uma aproximação da raiz, com precisão boxedxapprox 3.00, é o centro do último intervalo:

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