Utilize o método da Bisseç̧ão para determinar soluções com precisão de
para a equação
nos intervalos:
Passo 1
Beleza, vamos lá. Temos o exercício de Métodos Numéricos: “Usar o método da Bisseção pra achar uma solução de
no intervalo
com precisão
.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Conhecer a função
. - Saber que, se
é contínua e muda de sinal entre e , existe raiz (Teorema de Bolzano). - Entender o passo a passo do método da bisseção: dividir o intervalo ao meio, ver o sinal em cada ponta e escolher o subintervalo que contém a raiz, até que o tamanho do intervalo seja menor que a tolerância.
Passo 2
Primeiro, aplicamos o Teorema de Bolzano pra confirmar que tem raiz em
.
Calculamos:
Calculamos:
Como
, há pelo menos uma raiz em
.
Passo 3
A ideia do método da bisseção é: a cada iteração, calculo o ponto médio
e avalio
. Se
, a raiz está em
; senão (isto é,
) ela está em
. A gente repete até
.
Passo 4
1ª iteração:
a=1, b=3.2 →
a=1, b=3.2 →
Como
e
têm sinais opostos, nova base é
.
2ª iteração:
a=2.1, b=3.2 →
a=2.1, b=3.2 →
Sinais de
e
opostos → novo intervalo
.
Passo 5
3ª iteração:
a=2.65, b=3.2 →
a=2.65, b=3.2 →
→ intervalo
.
4ª iteração:
a=2.925, b=3.2 →
a=2.925, b=3.2 →
→ intervalo
.
Passo 6
5ª iteração:
a=2.925, b=3.0625 →
a=2.925, b=3.0625 →
→
.
6ª iteração:
a=2.99375, b=3.0625 →
a=2.99375, b=3.0625 →
→
.
7ª iteração:
a=2.99375, b=3.028125 →
a=2.99375, b=3.028125 →
→
.
Agora
, então mais uma:
8ª iteração:
a=2.99375, b=3.0109375 →
a=2.99375, b=3.0109375 →
→
.
Aqui
, atingimos a precisão desejada.
Resposta
Uma aproximação da raiz, com precisão
, é o centro do último intervalo: