Considere a tabela de pontos abaixo, obtenha uma aproximação para f(0,6) usando polinômios na Forma de Newton de graus 2, 3 e 4. Encontre o erro associado a cada uma das interpolações.
x 0 0,2618 0,5234 0,7854 1,0472 1,309
f(x) 0 1,0353 2 2,8284 3,4641 3,8637

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente aproximar o valor de
f(0.6)
sabendo que temos os pares f(0.6)=4sin(0.6)approx2.25994 na tabela abaixo e que de fato . Tem que fazer três polinômios de Newton (grau 2, 3 e 4) e depois calcular o erro de cada um comparando com o valor exato
Matéria: interpolação de Newton usando diferenças divididas e o termo de erro em módulo. Vamos precisar montar a tabela de diferenças divididas e avaliar cada polinômio em .

Passo 2

Interpolação de grau 2 (3 pontos mais próximos de 0.6: f0&=1.0353, f1=2.0000, f2=2.8284, f[x0,x1]&=2.0000-1.03530.5234-0.2618approx3.6878, f[x1,x2]&=2.8284-2.00000.7854-0.5234approx3.1634, f[x0,x1,x2]&=3.1634-3.68780.7854-0.2618approx-1.0015 ).
  1. Monte as diferenças divididas:
P2(x)=f0+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
  1. Polinômio de Newton (grau 2):

Passo 3

Avaliar P2(0.6)&=1.0353+3.6878(0.6-0.2618)-1.0015(0.6-0.2618)(0.6-0.5234) &approx1.0353+1.2476-0.0259=2.2570 :
|f(0.6)-P2(0.6)|approx|2.25994-2.2570|approx0.00294
Erro:

Passo 4

Interpolação de grau 3 (4 pontos: f[x2,x3]&=3.4641-2.82841.0472-0.7854approx2.4288, f[x1,x2,x3]&=2.4288-3.16341.0472-0.5234approx-1.4026, f[x0,x1,x2,x3]&=-1.4026-(-1.0015)1.0472-0.2618approx-0.5106 a P3(x)=P2(x)+f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2) = 0.2618, 0.5234, 0.7854, 1.0472).
  1. Já temos até . Complete:
  1. Polinômio de grau 3:

Passo 5

Avaliar P3(0.6)&=2.2570;+;(-0.5106),(0.6-0.2618)(0.6-0.5234)(0.6-0.7854) &approx2.2570+0.00245=2.25945 :
|2.25994-2.25945|approx0.00049
Erro:

Passo 6

Interpolação de grau 4 (5 pontos: soma f[x3,x4]&approx1.5252, f[x2,x3,x4]approx-1.7258, f[x1,x2,x3,x4]&approx-0.4114, f[x0,x1,x2,x3,x4]approx0.0947 ).
  1. Calcule as novas diferenças:
P4(x)=P3(x)+f[x0,dots,x4](x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)
  1. Polinômio de grau 4:

Passo 7

Avaliar P4(0.6)&=2.25945+0.0947,(0.6-0.2618)(0.6-0.5234)(0.6-0.7854)(0.6-1.0472) &approx2.25945+0.00020=2.25965 :
|2.25994-2.25965|approx0.00029
Erro:

Resposta

Aproximações em e erros:
  • Grau 2: , erro ≈0.00294.
  • Grau 3: , erro ≈0.00049.
  • Grau 4: , erro ≈0.00029.

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