Considere I = [0, 3]. Quantas iterações seriam necessárias, pelo método da Bissecção, para obter uma aproximação de xi com um erro menor que 10^-5?
f(0) = -6 e f(3) = 6, x0 = 1.5
k > log(b-a) - log(epsilon)log(2) = log(3) - log(10^-5)log(2).
Portanto, seria necessário pelo menos 19 iterações.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que em temos e , então existe raiz nesse intervalo. A parada é: usando o método da Bissecção, queremos achar quantas iterações são necessárias para que o erro seja menor que . O conteúdo aqui é o método da bissecção e, em especial, a fórmula do número de iterações para garantir erro menor que um determinado .

Passo 2

O método da Bissecção divide o intervalo ao meio a cada iteração, reduzindo o erro máximo em um fator b-a2^k < varepsilon . Depois de iterações, o tamanho do intervalo onde a raiz está vale . A gente quer esse tamanho menor que , pois o erro no ponto médio é no máximo o tamanho do intervalo dividido por 2, mas convencionamos a condição

Passo 3

Para achar b-a2^k < varepsilon Longrightarrow 2^k > b-avarepsilon Longrightarrow k > log2!l(tfracb-avarepsilonr) , basta resolver
k > ln(b-a) - ln(varepsilon)ln(2)
Como , temos a fórmula padrão:

Passo 4

Aqui k > ln(3) - ln(10^-5)ln(2) e . Então
Lembrando que , ou numericamente , e .

Passo 5

Vamos calcular:
ln(3) - ln(10^-5) approx 1,0986 - (-11,5129) = 12,6115,
ln(2)approx0,6931 Longrightarrow k > 12,61150,6931approx18,19
Como tem que ser inteiro e maior que isso, a gente pega .

Resposta

Seriam necessárias pelo menos 19 iterações.

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