Use a regra 1 / 3 de Simpson para integrar a função abaixo entre 0 e 2 com o menor esforço computacional possível (menor número de divisões e maior precisão). Justifique. Trabalhe com três casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede pra gente aproximar
integral0^2 f(x),dx,
onde
f(x)= x^2, & 0 <= x <= 1, (x+2)^3, & 1 < x <= 2,
usando a regra 1/3 de Simpson com o mínimo de subdivisões e maior precisão (três casas decimais).
Conteúdo envolvido: regra composta de Simpson 1/3.
O que vamos precisar:
  • Dividir o intervalo em partes contínuas (0–1 e 1–2);
  • Em cada parte usar a fórmula de Simpson com 2 subintervalos (mínimo pra Simpson).

Passo 2

Aplicando Simpson 1/3 em [0, 1]:
  1. Teoria: Para h=b-an=1-02=0.5 , integral0^1f(x),dxapprox h3l[f(x0)+4f(x1)+f(x2)r], e f(0)=0^2=0, f(0.5)=0.5^2=0.25, f(1)=1^2=1 subintervalos, temos
I1=integral0^1x^2,dxapprox 0.53l[0+4(0.25)+1r] =0.53(0+1+1) =0.53cdot2 =13approx0.333
e a fórmula
com , , .
2) Calculando valores:
  1. Montando Simpson:

Passo 3

Aplicando Simpson 1/3 em [1, 2]:
  1. Teoria: Agora integral1^2f(x),dxapprox h3l[f(x0)+4f(x1)+f(x2)r], , f(1)=(1+2)^3=27, f(1.5)=(1.5+2)^3=3.5^3=42.875, f(2)=(2+2)^3=64 , I2=integral1^2(x+2)^3,dxapprox 0.53l[27+4(42.875)+64r] =0.53(27+171.5+64) =0.53cdot262.5 =0.1666667cdot262.5 =43.75 .
    Regra:
com , , .
2) Como tem descontinuidade em , usamos o valor da segunda parte naquele ponto (já que um ponto não muda o valor da integral):
  1. Montando Simpson:

Passo 4

Somamos as duas partes:
integral0^2f(x),dxapprox I1+I2 =0.333+43.75 =44.083(três casas decimais) ê

Resposta

A integral aproximada é
boxed44.083

Exercícios relacionados