Usando o MPF, as sequências geradas pelos valores iniciais próximos ao único zero positivo xi de f convergem para xi? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se, usando o Método do Ponto Fixo (MPF), as iterações geradas a partir de pontos iniciais próximos ao único zero positivo da função convergem para .
Conteúdo envolvido: Teorema do ponto fixo de Banach (contração), derivada de e condições de convergência. Vamos precisar transformar em , estimar e usar o critério .

Passo 2

Transformação em ponto fixo. Uma escolha padrão é
g(x) = x + lambda,f(x),
com constante ainda a definir. Note que todo que satisfaz também satisfaz , logo é ponto fixo de .

Passo 3

Cálculo de g'(x) = 1 + lambda,f'(x) .
g'(xi) = 1 + lambda,f'(xi)
No ponto lvert g'(xi)rvert = lvert 1 + lambda,f'(xi)rvert < 1 , onde -1 < 1 + lambda,f'(xi) < 1 Longrightarrow -2 < lambda,f'(xi) < 0 e presumimos , temos
Para garantir que seja contração num intervalo em torno de , precisamos achar tal que
Isto equivale a
Como é não nulo, escolhemos de forma que .

Passo 4

Conclusão pela Banach: Se existe um intervalo contendo em que
  1. e
  2. ,
    então a sequência , com em , converge geometricamente para .

Resposta

Sim. Desde que reescrevamos como e escolhamos de modo a satisfazer , as iterações do MPF a partir de um ponto inicial suficientemente próximo de convergem para por ser uma contração local.

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