Usando o MPF, as sequências geradas pelos valores iniciais próximos ao único zero positivo
de
convergem para
? Explique.
Passo 1
O enunciado pergunta se, usando o Método do Ponto Fixo (MPF), as iterações geradas a partir de pontos iniciais próximos ao único zero positivo
da função
convergem para
.
Conteúdo envolvido: Teorema do ponto fixo de Banach (contração), derivada de e condições de convergência. Vamos precisar transformar
em
, estimar
e usar o critério
.
Conteúdo envolvido: Teorema do ponto fixo de Banach (contração), derivada de
Passo 2
Transformação em ponto fixo. Uma escolha padrão é
com
constante ainda a definir. Note que todo
que satisfaz
também satisfaz
, logo
é ponto fixo de
.
Passo 3
Cálculo de
.
No ponto
, onde
e presumimos
, temos
Para garantir que
seja contração num intervalo em torno de
, precisamos achar
tal que
Isto equivale a
Como
é não nulo, escolhemos
de forma que
.
Passo 4
Conclusão pela Banach: Se existe um intervalo
contendo
em que
-
e -
,
então a sequência, com em , converge geometricamente para .
Resposta
Sim. Desde que reescrevamos
como
e escolhamos
de modo a satisfazer
, as iterações do MPF a partir de um ponto inicial suficientemente próximo de
convergem para
por ser
uma contração local.