Considere 2022 dados honestos e são lançados simultaneamente (neste problema, não faltam dados!). Qual é a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja um múltiplo de 5?
Passo 1
O enunciado dá que são lançados simultaneamente
dados honestos (seis faces, com resultados
igualmente prováveis). A pergunta é: qual é a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja um múltiplo de
?
Informações relevantes dadas:
- Número de dados:
. - Cada dado tem
faces com valores , todas equiprováveis. - Quer-se a probabilidade do evento ``soma total
‘’.
O que se pede:
- Calcular
.
Passo 2
Escolha do método (e explicação didática do mesmo).
Vou usar o método dos raízes da unidade (também chamado filtro das raízes da unidade ou transformada discreta) porque estamos lidando com soma módulo [5). A ideia básica é construir um indicador para a condição ``soma
‘’ usando médias de potências de uma raiz 5-ésima da unidade.
Ferramenta-chave (explicada): seja
, uma raiz primitiva quinta da unidade. Para um inteiro
vale a identidade
Isso acontece porque a soma das cinco potências
quando
(ou seja
) e
caso contrário.
Usando isso, para contar o número de sequências de resultados dos
dados cuja soma seja congruente a
módulo
, podemos somar sobre todas as sequências e aplicar o indicador acima. Esse procedimento leva a uma fórmula envolvendo as expressões
elevadas a
, onde
é a classe de resto módulo
do face
.]
Passo 3
Aplicação da fórmula geral ao caso dos dados.
Primeiro identifique as classes módulo
das faces:
- face
tem resto , - face
tem resto , - face
tem resto , - face
tem resto , - face
tem resto , - face
tem resto .
Logo as frequências por resto são:
- resto
: face (o ); - resto
: faces (o e o ); - resto
: face; - resto
: face; - resto
: face.
Para cada
defina
Explicando:
soma, para todos os resultados possíveis de um único dado, a contribuição
. Como há várias faces com o mesmo resto, conta-se multiplicidade.
Então, pelo filtro das raízes da unidade, o número de sequências de comprimento
(cada sequência tem
possibilidades no total) cuja soma é congruente a
módulo
é
Passo 4
Calcular explicitamente
usando as frequências por resto.
Com as frequências dadas:
Isso dá, para cada
,
Agora observe a identidade bem útil: para
temos
(é a soma das cinco potências de
, que se anula se
). Portanto, para
,
Substituindo em
:
Conclusão importante:
e para
vale
Passo 5
Colocar tudo na fórmula do filtro e simplificar.
Número de sequências com soma
:
Note que
. Para avaliar a soma
precisamos conhecer
módulo
. Calculando:
(soma rápida:
é múltiplo de
, logo resto
). Assim
Portanto
Mas novamente usamos que
, logo
Substituindo de volta:
Esse é o número de sequências favoráveis.
Passo 6
Calcular a probabilidade dividindo pelo total de sequências
e simplificar.
A probabilidade pedida é
Podemos escrever de forma equivalente e mais intuitiva:
Passo 7
Sanity check (checagem rápida para ganhar confiança).
Para
dado (
substituído por
) a fórmula dá
o que faz sentido porque com um dado a soma é múltiplo de
apenas se sair o
, probabilidade
. Bom sinal.