Considere 2022 dados honestos e são lançados simultaneamente (neste problema, não faltam dados!). Qual é a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja um múltiplo de 5?

Passo 1

O enunciado dá que são lançados simultaneamente 2022 dados honestos (seis faces, com resultados 1,2,3,4,5,6 igualmente prováveis). A pergunta é: qual é a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja um múltiplo de 5?
Informações relevantes dadas:
  • Número de dados: 2022.
  • Cada dado tem 6 faces com valores 1,2,3,4,5,6, todas equiprováveis.
  • Quer-se a probabilidade do evento ``soma total \equiv 0\pmod{5}‘’.
O que se pede:
  • Calcular P(\text{soma} \equiv 0 \pmod{5}).

Passo 2

Escolha do método (e explicação didática do mesmo).
Vou usar o método dos raízes da unidade (também chamado filtro das raízes da unidade ou transformada discreta) porque estamos lidando com soma módulo [5). A ideia básica é construir um indicador para a condição ``soma \equiv 0\pmod{5}‘’ usando médias de potências de uma raiz 5-ésima da unidade.
Ferramenta-chave (explicada): seja \omega = e^{2\pi i/5}, uma raiz primitiva quinta da unidade. Para um inteiro s vale a identidade
\frac{1}{5}\sum_{t=0}^{4}\omega^{t s}= \begin{cases} 1, & \text{se } s\equiv 0\pmod{5},\\[4pt] 0, & \text{se } s\not\equiv 0\pmod{5}. \end{cases}
Isso acontece porque a soma das cinco potências \sum_{t=0}^{4}\omega^{t s}\] é \(5 quando \omega^{s}=1 (ou seja s\equiv0) e 0 caso contrário.
Usando isso, para contar o número de sequências de resultados dos 2022 dados cuja soma seja congruente a 0 módulo 5, podemos somar sobre todas as sequências e aplicar o indicador acima. Esse procedimento leva a uma fórmula envolvendo as expressões \sum_{j=1}^{6}\omega^{t r_j} elevadas a 2022, onde r_j é a classe de resto módulo 5 do face j.]

Passo 3

Aplicação da fórmula geral ao caso dos dados.
Primeiro identifique as classes módulo 5 das faces:
  • face 1 tem resto 1,
  • face 2 tem resto 2,
  • face 3 tem resto 3,
  • face 4 tem resto 4,
  • face 5 tem resto 0,
  • face 6 tem resto 1.
Logo as frequências por resto são:
  • resto 0: 1 face (o 5);
  • resto 1: 2 faces (o 1 e o 6);
  • resto 2: 1 face;
  • resto 3: 1 face;
  • resto 4: 1 face.
Para cada t\in\{0,1,2,3,4\} defina
S_t=\sum_{j=1}^{6}\omega^{t r_j}.
Explicando: S_t soma, para todos os resultados possíveis de um único dado, a contribuição \omega^{t\cdot(\text{resto do face})}. Como há várias faces com o mesmo resto, conta-se multiplicidade.
Então, pelo filtro das raízes da unidade, o número de sequências de comprimento 2022 (cada sequência tem 6^{2022} possibilidades no total) cuja soma é congruente a 0 módulo 5 é
\frac{1}{5}\sum_{t=0}^{4}S_t^{\,2022}.

Passo 4

Calcular explicitamente S_t usando as frequências por resto.
Com as frequências dadas:
S_t = 1\cdot\omega^{t\cdot0} + 2\cdot\omega^{t\cdot1} + 1\cdot\omega^{t\cdot2} + 1\cdot\omega^{t\cdot3} + 1\cdot\omega^{t\cdot4}.
Isso dá, para cada t,
S_t = 1 + 2\omega^{t} + \omega^{2t} + \omega^{3t} + \omega^{4t}.
Agora observe a identidade bem útil: para t\not=0 temos
1+\omega^{t}+\omega^{2t}+\omega^{3t}+\omega^{4t}=0
(é a soma das cinco potências de \omega^{t}, que se anula se \omega^{t}\neq1). Portanto, para t\neq0,
\omega^{2t}+\omega^{3t}+\omega^{4t} = -1 - \omega^{t}.
Substituindo em S_t:
S_t = 1 + 2\omega^{t} + \bigl(-1 - \omega^{t}\bigr) = \omega^{t}.
Conclusão importante:
S_0 = 6 \qquad\text{(porque cada face contribui com \(1\))},
e para t=1,2,3,4 vale
S_t = \omega^{t}.

Passo 5

Colocar tudo na fórmula do filtro e simplificar.
Número de sequências com soma \equiv 0\pmod{5}:
\frac{1}{5}\sum_{t=0}^{4}S_t^{\,2022} = \frac{1}{5}\Bigl( S_0^{\,2022} + \sum_{t=1}^{4}S_t^{\,2022}\Bigr) = \frac{1}{5}\Bigl(6^{2022} + \sum_{t=1}^{4}\bigl(\omega^{t}\bigr)^{2022}\Bigr).
Note que \bigl(\omega^{t}\bigr)^{2022}=\omega^{t\cdot 2022}. Para avaliar a soma \sum_{t=1}^{4}\omega^{t\cdot 2022} precisamos conhecer 2022 módulo 5. Calculando:
2022 \equiv 2 \pmod{5}
(soma rápida: 2020 é múltiplo de 5, logo resto 2). Assim
\omega^{t\cdot 2022} = \omega^{2t}.
Portanto
\sum_{t=1}^{4}\omega^{t\cdot 2022} = \sum_{t=1}^{4}\omega^{2t}.
Mas novamente usamos que \sum_{k=0}^{4}\omega^{2k}=0, logo
\sum_{t=1}^{4}\omega^{2t} = -1.
Substituindo de volta:
\frac{1}{5}\Bigl(6^{2022} + \sum_{t=1}^{4}\omega^{t\cdot 2022}\Bigr) = \frac{1}{5}\bigl(6^{2022} - 1\bigr).
Esse é o número de sequências favoráveis.

Passo 6

Calcular a probabilidade dividindo pelo total de sequências 6^{2022} e simplificar.
A probabilidade pedida é
\frac{\text{sequências favoráveis}}{6^{2022}} = \frac{1}{6^{2022}}\cdot\frac{6^{2022}-1}{5} = \frac{6^{2022}-1}{5\cdot 6^{2022}}.êá
Podemos escrever de forma equivalente e mais intuitiva:
\frac{6^{2022}-1}{5\cdot 6^{2022}} = \frac{1}{5} - \frac{1}{5\cdot 6^{2022}}.

Passo 7

Sanity check (checagem rápida para ganhar confiança).
Para 1 dado ( 2022 substituído por 1) a fórmula dá
\frac{6^{1}-1}{5\cdot 6^{1}} = \frac{5}{30}=\frac{1}{6},
o que faz sentido porque com um dado a soma é múltiplo de 5 apenas se sair o 5, probabilidade 1/6. Bom sinal.

Resposta

\dfrac{6^{2022}-1}{5\cdot 6^{2022}} = \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{5\cdot 6^{2022}}

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