Considere que
. Estude a perda de dígitos significativos das operações abaixo, ou seja, trunca-se somente antes da operação. Sempre calcule o erro relativo, para cada caso. Observe os resultados.
, exato e truncado em 7 e 8 casas decimais.
Passo 1
O enunciado dá os números (decimais) e pede para estudar a perda de dígitos significativos na operação
, truncando os operandos antes da operação em 7 e em 8 casas decimais. Os dados fornecidos são:
O que vamos entregar:
- o quociente exato (usando os valores dados);
- o quociente quando
e são truncados em 7 casas decimais (trunca-se antes da divisão); - o quociente quando
e são truncados em 8 casas decimais; - para cada caso, calcular o erro relativo
Passo 2
Explicando o truncamento pedido (trunca-se só antes da operação):
- truncar em 7 casas decimais significa manter os 7 primeiros dígitos após a vírgula e descartar o resto (sem arredondar). Assim:
- truncar em 8 casas decimais:
Sempre repare: a operação é a divisão desses valores truncados.
Passo 3
Calcular o quociente exato a partir dos dados com precisão fornecida.
Uma forma rigorosa é escrever e
como frações com denominador
:
Uma forma rigorosa é escrever
Logo
Calculando a fração obtemos (aproximação decimal com boa precisão)
Este é o valor de referência (chamarei de
).
Passo 4
Calcular o quociente com truncamento em 7 casas decimais.
Expressões racionais:
Expressões racionais:
logo
Convertendo para decimal:
Agora o erro absoluto e o erro relativo:
(Como
está muito próximo de
, dividir por ele muda pouco o resultado numérico.)
Passo 5
Calcular o quociente com truncamento em 8 casas decimais.
Expressões racionais:
Expressões racionais:
logo
Convertendo para decimal:
Erro absoluto e erro relativo:
Passo 6
Interpretação didática (por que ocorreu essa perda de dígitos):
-
e são números muito próximos; a diferença exata é
- ao truncar em 7 casas a diferença passa a ser
ou seja, a diferença mudou relativamente muito (de
para
), e como o quociente é aproximadamente
, pequenas alterações na diferença produzem alterações comparativamente grandes no resultado final — fenômeno de cancelamento (catastrophic cancellation) quando se opera com números quase iguais.
- medida prática: número de dígitos corretos aproximado por
. Para os dois casos:
Ou seja: truncar em 7 casas deixou o resultado com cerca de
–
dígitos corretos; truncar em 8 casas melhora muito: cerca de
dígitos corretos. Isso mostra que, quando se divide números próximos, a precisão das casas mais à direita dos operandos é crucial.