Considere que x=0.3839404142, y=0.383940999, z=193978.9717 \mathrm{e} w=981 \cdot 10^{3}. Estude a perda de dígitos significativos das operações abaixo, ou seja, trunca-se somente antes da operação. Sempre calcule o erro relativo, para cada caso. Observe os resultados.
x / y, exato e truncado em 7 e 8 casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá os números (decimais) e pede para estudar a perda de dígitos significativos na operação \,x/y, truncando os operandos antes da operação em 7 e em 8 casas decimais. Os dados fornecidos são:
x=0,3839404142,\qquad y=0,383940999.
O que vamos entregar:
  • o quociente exato (usando os valores dados);
  • o quociente quando x e y são truncados em 7 casas decimais (trunca-se antes da divisão);
  • o quociente quando x e y são truncados em 8 casas decimais;
  • para cada caso, calcular o erro relativo
\text{erro relativo}=\frac{\left|\text{aprox}-\text{exato}\right|}{\left|\text{exato}\right|}.

Passo 2

Explicando o truncamento pedido (trunca-se só antes da operação):
  • truncar em 7 casas decimais significa manter os 7 primeiros dígitos após a vírgula e descartar o resto (sem arredondar). Assim:
x_{\text{t7}}=0,3839404,\qquad y_{\text{t7}}=0,3839409.
  • truncar em 8 casas decimais:
x_{\text{t8}}=0,38394041,\qquad y_{\text{t8}}=0,38394099.
Sempre repare: a operação é a divisão desses valores truncados.

Passo 3

Calcular o quociente exato a partir dos dados com precisão fornecida.
Uma forma rigorosa é escrever x e y como frações com denominador 10^{10}:
x=\frac{3839404142}{10^{10}},\qquad y=\frac{3839409990}{10^{10}}.
Logo
\frac{x}{y}=\frac{3839404142}{3839409990}=1-\frac{5848}{3839409990}.
Calculando a fração obtemos (aproximação decimal com boa precisão)
\frac{x}{y}\approx 0,99999847684933.
Este é o valor de referência (chamarei de \,q_{\text{exato}}).

Passo 4

Calcular o quociente com truncamento em 7 casas decimais.
Expressões racionais:
x_{\text{t7}}=\frac{3839404}{10^{7}},\qquad y_{\text{t7}}=\frac{3839409}{10^{7}},
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q_{\text{t7}}=\frac{x_{\text{t7}}}{y_{\text{t7}}}=\frac{3839404}{3839409}=1-\frac{5}{3839409}.
Convertendo para decimal:
q_{\text{t7}}\approx 0,99999869771637.
Agora o erro absoluto e o erro relativo:
\Delta_{7}=q_{\text{t7}}-q_{\text{exato}}\approx 2{,}2086704\times10^{-7},
\text{erro relativo}_{7}=\frac{|\Delta_{7}|}{|q_{\text{exato}}|}\approx 2{,}2087\times10^{-7}.
(Como q_{\text{exato}} está muito próximo de 1, dividir por ele muda pouco o resultado numérico.)

Passo 5

Calcular o quociente com truncamento em 8 casas decimais.
Expressões racionais:
x_{\text{t8}}=\frac{38394041}{10^{8}},\qquad y_{\text{t8}}=\frac{38394099}{10^{8}},
logo
q_{\text{t8}}=\frac{38394041}{38394099}=1-\frac{58}{38394099}.
Convertendo para decimal:
q_{\text{t8}}\approx 0,99999848935144.
Erro absoluto e erro relativo:
\Delta_{8}=q_{\text{t8}}-q_{\text{exato}}\approx 1{,}050115\times10^{-8},
\text{erro relativo}_{8}=\frac{|\Delta_{8}|}{|q_{\text{exato}}|}\approx 1{,}0501\times10^{-8}.

Passo 6

Interpretação didática (por que ocorreu essa perda de dígitos):
  • x e y são números muito próximos; a diferença exata é
y-x=0{,}0000005848=5{,}848\times10^{-7}.
  • ao truncar em 7 casas a diferença passa a ser
y_{\text{t7}}-x_{\text{t7}}=0{,}0000005=5\times10^{-7},
ou seja, a diferença mudou relativamente muito (de 5{,}848\times10^{-7} para 5{,}0\times10^{-7}), e como o quociente é aproximadamente 1-\dfrac{y-x}{y}, pequenas alterações na diferença produzem alterações comparativamente grandes no resultado final — fenômeno de cancelamento (catastrophic cancellation) quando se opera com números quase iguais.
  • medida prática: número de dígitos corretos aproximado por -\log_{10}(\text{erro relativo}). Para os dois casos:
-\log_{10}(2{,}2087\times10^{-7})\approx 6{,}66\quad(\text{≈ 6 a 7 dígitos corretos}),í
-\log_{10}(1{,}0501\times10^{-8})\approx 7{,}98\quad(\text{≈ 8 dígitos corretos}).í
Ou seja: truncar em 7 casas deixou o resultado com cerca de 6 7 dígitos corretos; truncar em 8 casas melhora muito: cerca de 8 dígitos corretos. Isso mostra que, quando se divide números próximos, a precisão das casas mais à direita dos operandos é crucial.

Resposta

\displaystyle q_{\text{exato}}=\frac{x}{y}\approx 0,99999847684933\newline
\displaystyle q_{\text{t7}}=\frac{0,3839404}{0,3839409}=\frac{3839404}{3839409}\approx 0,99999869771637,\quad\text{erro relativo}\approx 2{,}2087\times10^{-7}\newline
\displaystyle q_{\text{t8}}=\frac{0,38394041}{0,38394099}=\frac{38394041}{38394099}\approx 0,99999848935144,\quad\text{erro relativo}\approx 1{,}0501\times10^{-8}

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