Considere alpha=0 e k=0 na Eq. (1) e o algoritmo
(1+C2) phii^n+1-C2 phii-1^n+1=(1-C2) phii^n+C2 phii-1^n
onde C=(u De e estude a consistência.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: a gente tem o esquema
l(1+tfracC2r),phii^,n+1-tfracC2,phii-1^,n+1 =l(1-tfracC2r),phii^,n+tfracC2,phii-1^,n,
onde . A tarefa é estudar a consistência do método, ou seja, mostrar que o erro de truncamento local tende a zero quando .
Conteúdo envolvido:
  • Definição de consistência (erro de truncamento local)
  • Expansão de Taylor em tempo e espaço
  • Identificar o PDE que aparece no limite contínuo
O que vamos precisar: lembrar como expandir em Taylor até segunda ordem, e depois comparar LHS e RHS do esquema.

Passo 2

Primeiro, beleza, vamos lembrar a expansão de Taylor em torno do ponto phii^n+1&=phi + De. Chamando , temos até segunda ordem:
Aqui e por aí vai são avaliados em . Esse é o principal “ingrediente” de Taylor.

Passo 3

Agora a gente substitui essas expansões dentro do esquema. Vou dar só o panorama sem escrever cada termo:
  1. No LHS:
    phi + De
    → isso dá, após juntar tudo, phi - tfracC2,De
  2. No RHS:

    → isso dá

Passo 4

Se igualarmos LHS=RHS e cancelarmos o De inicial, obtemos
phit + u,phix ;+; underbracetfracDe
Agrupando termos e usando dá, depois de dividir por :
O pedacinho sublinhado é justamente o erro de truncamento local.

Passo 5

Então a gente vê que, quando e , esse vai para zero (ele é da ordem ). Como sobra , a equação contínua é a de advecção.
Isso mostra que o método é consistente: o erro de truncamento local quando .

Resposta

O esquema é consistente, pois o erro de truncamento local

é da ordem e tende a zero quando .

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