Considere
e
na Eq. (1) e o algoritmo
onde
e estude a consistência.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: a gente tem o esquema
onde
. A tarefa é estudar a consistência do método, ou seja, mostrar que o erro de truncamento local tende a zero quando
.
Conteúdo envolvido:
- Definição de consistência (erro de truncamento local)
- Expansão de Taylor em tempo e espaço
- Identificar o PDE que aparece no limite contínuo
O que vamos precisar: lembrar como expandir
em Taylor até segunda ordem, e depois comparar LHS e RHS do esquema.
Passo 2
Primeiro, beleza, vamos lembrar a expansão de Taylor em torno do ponto
. Chamando
, temos até segunda ordem:
Aqui
e por aí vai são avaliados em
. Esse é o principal “ingrediente” de Taylor.
Passo 3
Agora a gente substitui essas expansões dentro do esquema. Vou dar só o panorama sem escrever cada termo:
- No LHS:
→ isso dá, após juntar tudo, - No RHS:
→ isso dá
Passo 4
Se igualarmos LHS=RHS e cancelarmos o
inicial, obtemos
Agrupando termos e usando
dá, depois de dividir por
:
O pedacinho sublinhado
é justamente o erro de truncamento local.
Passo 5
Então a gente vê que, quando
e
, esse
vai para zero (ele é da ordem
). Como sobra
, a equação contínua é a de advecção.
Isso mostra que o método é consistente: o erro de truncamento local
quando
.
Resposta
O esquema é consistente, pois o erro de truncamento local
é da ordem e tende a zero quando
.
é da ordem