Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função, f(x)= e^x-x^2+4, no intervalo I=[-3,-1].
a) Mostre a função g(x) e faça avaliação da derivada.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere truncamento e 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar uma raiz de
xn+1=g(xn)
no intervalo usando o “método iterativo linear” (que é o método de ponto-fixo).
O que a gente vai precisar:
  1. Reescrever como .
  2. Calcular e checar se em (condição de contração).
  3. Escolher um chute inicial em e iterar:
  1. Truncar cada resultado a 4 casas decimais e parar em 5 iterações.

Passo 2

Para isolar x^2 = e^x +4 Longrightarrow x = pmraiz,e^x+4, em g(x) = -raiz,e^x+4, , escrevemos
g'(x) = -12,(e^x+4)^-tfrac12,ddx(e^x+4) = -e^x2raiz,e^x+4,
Como nosso intervalo tem , escolhemos
Agora a derivada:

Passo 3

Vamos checar para de a :
  • Em : , ,
    .
  • Em : , ,
    .
Como fica sempre abaixo de 1 nesse intervalo, temos contração e a iteração converge.
Vamos usar (o meio do intervalo) como chute inicial.

Passo 4

Iteramos , truncando a 4 casas decimais:









  1. repete praticamente o mesmo valor:
    (truncando)

Resposta

Após 5 iterações, com truncamento a 4 casas decimais, o método de ponto-fixo fornece
x5 approx -2.0324

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