e obtenha o sistema de equaçōes discretas na forma considerando uma malha de diferenças finitas com cinco nós no interior do domínio, referência em , aplicando aproximaçōes atrasada para a derivada temporal e centrada para a derivada espacial segunda.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial parcial (PDE) que envolve derivadas em relação ao tempo $ t $ e ao espaço $ x $. Além disso, tem condições de contorno especificadas. Nosso objetivo é discretizar essa equação usando o método das diferenças finitas, ou seja, transformar a equação contínua em um sistema de equações lineares que podemos resolver numericamente. Vamos precisar entender como aproximar as derivadas temporais e espaciais usando diferenças finitas e montar uma malha com cinco nós internos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
Aqui, $ \varphi $ é uma função de $ x $ e $ t $, e $ u $, $ \alpha $, e $ k $ são constantes.
As condições de contorno são:
Isso significa que a derivada espacial de $ \varphi $ nos limites do domínio $ x = 0 $ e $ x = L_x $ é especificada.
Passo 3
Vamos montar uma malha de diferenças finitas com cinco nós internos no domínio $ x \in [0, L_x] $. Vamos dividir o intervalo em $ N+1 $ pontos, onde $ N = 5 $ é o número de nós internos. A distância entre os nós é $ \Delta x = \frac{L_x}{N+1} $.
No tempo, vamos considerar a discretização no tempo usando um passo $ \Delta t $. A referência será no tempo $ n+1 $ e no espaço $ i $, ou seja, $ \varphi_i^{n+1} $.
Passo 4
Agora, vamos aproximar as derivadas usando diferenças finitas:
Derivada temporal (diferença para trás):
Essa é uma aproximação de primeira ordem no tempo, conhecida como esquema implícito ou método de diferença para trás.
Derivada espacial primeira (diferença central):
Derivada espacial segunda (diferença central):
Passo 5
Vamos substituir essas aproximações na equação original:
Vamos reorganizar essa equação para isolar os termos de $ \varphi^{n+1} $:
Passo 6
Para simplificar, vamos multiplicar toda a equação por $ \Delta t $ para eliminar o denominador:
Agora, vamos definir alguns coeficientes para simplificar a expressão:
Então, a equação fica:
Passo 7
Agora, vamos montar o sistema de equações para os cinco nós internos $ i = 1, 2, 3, 4, 5 $. Para cada $ i $, teremos uma equação da forma acima. Além disso, precisamos considerar as condições de contorno.
As condições de contorno envolvem as derivadas espaciais nos pontos $ x = 0 $ e $ x = L_x $. Podemos aproximar essas derivadas usando diferenças finitas:
No ponto $ x = 0 $:
Isso nos dá uma relação para $ \varphi_0^{n+1} $.
No ponto $ x = L_x $:
Isso implica que $ \varphi_{N+1}^{n+1} = \varphi_{N}^{n+1} $.
Passo 8
Com essas relações, podemos expressar as variáveis de fronteira $ \varphi_0^{n+1} $ e $ \varphi_{6}^{n+1} $ (já que $ N+1 = 6 $) em termos dos nós internos.
Substituindo essas expressões nas equações internas, teremos um sistema de cinco equações lineares com cinco incógnitas $ \varphi_1^{n+1}, \varphi_2^{n+1}, \varphi_3^{n+1}, \varphi_4^{n+1}, \varphi_5^{n+1} $.
$ \mathbf{A} $ é uma matriz tridiagonal com os coeficientes $ a $, $ b $, e $ c $.
$ \mathbf{x} $ é o vetor das incógnitas $ [\varphi_1^{n+1}, \varphi_2^{n+1}, \varphi_3^{n+1}, \varphi_4^{n+1}, \varphi_5{n+1}]T $.
$ \mathbf{d} $ é o vetor das condições do tempo anterior $ [\varphi_1^{n}, \varphi_2^{n}, \varphi_3^{n}, \varphi_4^{n}, \varphi_5{n}]T $ ajustado pelas condições de contorno.
Resposta
O sistema de equações discretas na forma $ \mathbf{A x} = \mathbf{d} $ é dado por:
$$ b & c & 0 & 0 & 0 a & b & c & 0 & 0 0 & a & b & c & 0 0 & 0 & a & b & c 0 & 0 & 0 & a & b varphi1^n+1 varphi2^n+1 varphi3^n+1 varphi4^n+1 varphi5^n+1 = varphi1^n varphi2^n varphi3^n varphi4^n varphi5^n
a = - De
$$
Onde os coeficientes são:
b = 1 + 2 De
c = - De
varphi
Esse sistema pode ser resolvido numericamente para encontrar os valores de $ \varphi $ nos nós internos no próximo passo temporal $ n+1 $.