Considere um computador binário, cujo sistema de ponto flutuante tenha 1 bit para o sinal do número, 3 bits para o expoente e 6 bits para a mantissa num total de 10 bits.
a. Que número é representado por 1000010100 ?
b. Qual é o maior número positivo nele representável?
c. Qual é o maior número menor que 1?

Passo 1

O enunciado fala de um sistema de ponto flutuante com 1 bit de sinal, 3 bits de expoente e 6 bits de mantissa, totalizando 10 bits. Vamos precisar:
– Entender o viés (bias) do expoente em 3 bits.
– Saber como distinguir números normalizados, desnormalizados e valores especiais.
– Aplicar as fórmulas de valor real para cada caso.

Passo 2

O campo de expoente tem 3 bits, logo o viés é
\text{bias} = 2^{3-1} - 1 = 3.
Os valores de expoente armazenado e vão de \!000 a \!111. Em particular:
e=000 → número desnormalizado,
1\le e\le 110 → número normalizado com expoente E = e - \text{bias},
e=111 → infinito/NaN.

Passo 3

Para (a) “ 1000010100”:
– bit de sinal s=1 → número negativo;
– expoente e=000 → desnormalizado, expoente efetivo
E = 1 - \text{bias} = 1 - 3 = -2;
– mantissa (fração) f = 0.010100_2. Em decimal f = 2^{-2} + 2^{-4} = 0,25 + 0,0625 = 0,3125.
Em desnormalizados o valor é
(-1)^s \times f \times 2^E = -1 \times 0.3125 \times 2^{-2} = -0.078125.

Passo 4

Para (b) maior número positivo:
– Tomamos o maior expoente normalizado e = 110, que dá
E = 6 - 3 = 3.
– Tomamos a maior mantissa f = 1.111111_2 = 1 + (1 - 2^{-6}) = 1.984375.
Logo o maior valor finito é
(+1)\times 1.984375 \times 2^3 = 1.984375 \times 8 = 15.875.

Passo 5

Para (c) maior número < 1:
– O 1 exato é representado por e = 011 (pois E = 3 - 3 = 0) e mantissa f=1.000000_2.
– O predecessor imediato deve ter o maior valor abaixo de 1, que é o maior normalizado com E=-1, ou seja e=010.
– Mantissa máxima f=1.111111_2=1.984375.
Logo
\text{valor} = 1.984375 \times 2^{-1} = 0.9921875.

Resposta

(a) -0.078125
(b) 15.875
(c) 0.9921875

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