Questão 4 Considere um equipamento cujo sistema de aritmética de ponto flutuante é F(2,10,-15,15). Para este sistema:
(a) Qual é menor positivo exatamente representável?
(b) Qual é o próximo positivo, depois do menor positivo exatamente representável?
(c) Transforme o menor positivo e o próximo para a base decimal.
(d) Verifique se existem números reais entre o menor e o próximo positivo.
(e) Qual é maior positivo exatamente representável?

Passo 1

O enunciado trata de um sistema de ponto flutuante \!F(\beta,t,e_{\min},e_{\max}) com base \beta=2, mantissa de t=10 bits normalizados e intervalo de expoentes de -15 a 15. Vamos usar a forma padrão de números normalizados:
x = \pm(1.d_2d_3\ldots d_{10})_2\times2^e,
onde e_{\min}=-15 e e_{\max}=15.

Passo 2

Para achar o menor positivo exatamente representável, escolhemos o menor expoente e=e_{\min}=-15 e a menor mantissa normalizada, que é 1.000000000_2. Logo,
\text{menor positivo} = 1.000000000_2\times2^{-15} = 2^{-15}.

Passo 3

O próximo número positivo depois de 2^{-15} é obtido incrementando a mantissa em uma unidade no bit menos significativo. A mantissa passa a ser 1.0000000001_2. Assim,
\text{próximo positivo} = 1.0000000001_2\times2^{-15} = \bigl(1 + 2^{-10}\bigr)\,2^{-15} = 2^{-15} + 2^{-25}.ó

Passo 4

Para converter 2^{-15} e 2^{-15}+2^{-25} em decimal, usamos
2^{-15} = \frac1{2^{15}} = \frac1{32768}\approx0,000030517578125,
2^{-25} = \frac1{2^{25}} = \frac1{33554432}\approx0,000000029802322,
então
2^{-15}+2^{-25}\approx0,000030547380447.

Passo 5

Entre 2^{-15} e 2^{-15}+2^{-25} há infinitos números reais, pois o conjunto dos reais é contínuo. Contudo, nenhum outro número de ponto flutuante normalizado cabe entre esses dois.

Passo 6

O maior positivo exatamente representável usa e=e_{\max}=15 e a mantissa toda em 1:
(1.1111111111)_2\times2^{15} = \bigl(2 - 2^{-10}\bigr)\,2^{15} = 2^{16} - 2^5 = 65536 - 32 = 65504.

Resposta

(a) 2^{-15}.
(b) 2^{-15} + 2^{-25}.
(c) 2^{-15}\approx0,000030517578125 e 2^{-15}+2^{-25}\approx0,000030547380447.
(d) Há infinitos reais entre eles (intervalo contínuo), mas nenhum outro ponto flutuante normalizado.
(e) 65504.

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