Seja
a representação de um sistema de ponto flutuante onde
é a base do sistema,
é o número de dígitos da mantissa e
e
são respectivamente o menor e o maior expoente.
Dado o sistema de ponto flutuante
, obtenha a representação de número de ponto flutuante normalizado para os seguintes números:
Dado o sistema de ponto flutuante
Passo 1
O enunciado pede para representar o número
no sistema de ponto flutuante
. Informações dadas:
- base:
; - número de dígitos da mantissa:
(isto significa que a mantissa normalizada terá exatamente dígitos binários, com o primeiro dígito não nulo à esquerda da vírgula — em base 2 esse dígito deve ser ); - menor expoente:
; - maior expoente:
.
O que se pede: escrever a representação normalizada em base 2 de, ou seja, escrever o número na forma
com
e exatamente
dígitos na mantissa (a convenção que vamos usar é que os
dígitos incluem o dígito à esquerda da vírgula; portanto há
dígitos após o ponto).
Passo 2
Converter a parte inteira
para binário. Método (divisões sucessivas por 2):
-
resto -
resto -
resto
Lendo os restos de baixo para cima obtém-se. Portanto a parte inteira em binário é .
Passo 3
Converter a parte fracionária
para binário. Método (multiplicações sucessivas por 2):
-
→ parte inteira (primeiro bit fracionário = ); -
→ parte inteira (segundo bit = ); -
→ parte inteira (terceiro bit = ), e a fractional parte fica e o processo termina.
Portanto(isso também é óbvio porque ).
Passo 4
Combinar parte inteira e fracionária em binário:
Ou seja, em binário a representação exata é
.
Passo 5
Normalizar a representação: mover a vírgula para que haja exatamente um dígito não nulo (em base 2, esse dígito é
) à esquerda da vírgula. Para
escrevemos
pois deslocamos a vírgula duas posições para a esquerda (cada deslocamento para a esquerda corresponde a multiplicar por
). Assim o expoente normalizado é
. Comentário didático: a forma normalizada em base
exige
, então representações válidas têm aparência
.
Passo 6
Montar a mantissa com
dígitos. A convenção adotada (comum em enunciados) é que os
dígitos incluem o dígito à esquerda da vírgula; portanto precisamos de
dígitos após o ponto. A mantissa obtida pela normalização foi
. Escrevendo os próximos bits (se necessários) e completando até totalizar
dígitos (completando com zeros à direita, já que a expansão é finita), temos:
- dígitos disponíveis após a vírgula:
(cinco bits); - completar com zeros até
bits fracionários: (agora são bits após a vírgula).
Logo a mantissa comdígitos é (isto é, os dígitos, do primeiro ao décimo, são ). Não houve necessidade de arredondamento porque a expansão binária original era finita e coube exatamente ao completar com zeros.
Passo 7
Verificar o expoente na faixa permitida:
está entre
e
, portanto é permitido. Também registrar o sinal: o número dado é negativo, então o sinal é
.