Considere um conjunto com n=3 pontos no plano, \left\{\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots,\left(x_{3}, y_{3}\right)\right\}.
Elabore um algoritmo para escolher os pontos necessários para determinar L_{1}\left(x_{0}\right), onde x_{0} \in\left[x_{1}, x_{3}\right] é um ponto fixo.

Passo 1

O enunciado fornece três pontos \,(x_{1},y_{1}),\,(x_{2},y_{2}),\,(x_{3},y_{3}), no plano e um ponto fixo \,x_{0}\in[x_{1},x_{3}].
Queremos escolher dois desses pontos para construir o polinômio de interpolação afim \,L_{1}(x), e avaliá-lo em \,x_{0}.

Passo 2

Antes de tudo, garanta que os abscissas estão em ordem crescente:
x_{(1)} \le x_{(2)} \le x_{(3)},
onde \,(x_{(i)},y_{(i)}), é o i-ésimo ponto após a ordenação.
Se necessário, reordene os pares \,(x_{i},y_{i}).

Passo 3

Determine em qual subintervalo \,x_{0}, se encaixa:
se
x_{0} \le x_{(2)},
então \,x_{0}, está em [x_{(1)},x_{(2)}],
caso contrário está em [x_{(2)},x_{(3)}].

Passo 4

Selecione os dois pontos cujas abscissas formam esse subintervalo:
  • Se x_{0} \le x_{(2)}, escolha (x_{(1)},y_{(1)}) e (x_{(2)},y_{(2)}).
  • Caso contrário, escolha (x_{(2)},y_{(2)}) e (x_{(3)},y_{(3)}).

Passo 5

Com esses dois pontos (x_{i},y_{i}) e (x_{j},y_{j}) prontos, o polinômio afim de Lagrange de grau 1 é
L_{1}(x) = y_{i}\,\frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}} + y_{j}\,\frac{x - x_{i}}{x_{j} - x_{i}}.
Basta então avaliar em x=x_{0}.

Resposta

Ordene os pontos de modo que x_{(1)}\le x_{(2)}\le x_{(3)}.
Se x_{0}\le x_{(2)}, use (x_{(1)},y_{(1)}) e (x_{(2)},y_{(2)});
senão, use (x_{(2)},y_{(2)}) e (x_{(3)},y_{(3)}).
Depois, construa
L_{1}(x) = y_{i}\,\frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}} + y_{j}\,\frac{x - x_{i}}{x_{j} - x_{i}}
e avalie em x_{0}.

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