1. Considere o polinômio
P(x)=x^{4}+4 x^{3}-2 x^{2}-12 x+9
a) Mostre que P(1)=0.
b) Qual a multiplicidade da raiz 1 ?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=x^{4}+4x^{3}-2x^{2}-12x+9
e pede:
(a) mostrar que P(1)=0, ou seja, que x=1 é raiz;
(b) determinar a multiplicidade dessa raiz.
Vamos usar substituição direta e divisão sintética para fatorar P(x).

Passo 2

Para mostrar que P(1)=0, basta substituir x=1 em P(x):
P(1) =1^{4}+4\cdot1^{3}-2\cdot1^{2}-12\cdot1+9 =1+4-2-12+9 =0.
Logo, 1 é raiz de P(x).

Passo 3

Como x=1 é raiz, dividimos P(x) por (x-1) via divisão sintética:
Coeficientes de P(x): 1,\;4,\;-2,\;-12,\;9.
Usando 1 na sintética:
\begin{array}{c|rrrrr} 1 & 1 & 4 & -2 & -12 & 9\\\ & & 1 & 5 & 3 & -9\\hline & 1 & 5 & 3 & -9 & 0 \end{array}
O quociente é
Q(x)=x^{3}+5x^{2}+3x-9,
e o resto é zero, confirmando x-1 como fator.

Passo 4

Precisamos ver se x=1 é raiz de Q(x). Calculamos
Q(1)=1^{3}+5\cdot1^{2}+3\cdot1-9 =1+5+3-9 =0.
Portanto, (x-1) também divide Q(x).

Passo 5

Fazendo divisão sintética de Q(x) por (x-1):
Coeficientes de Q(x): 1,\;5,\;3,\;-9.
Usando 1 na sintética:
\begin{array}{c|rrrr} 1 & 1 & 5 & 3 & -9\\\ & & 1 & 6 & 9 \\hline & 1 & 6 & 9 & 0 \end{array}
O quociente é
R(x)=x^{2}+6x+9
e o resto é zero, então
P(x)=(x-1)^{2}R(x).

Passo 6

Finalmente, fatoramos
R(x)=x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}.
Assim
P(x)=(x-1)^{2}(x+3)^{2}.
O fator (x-1) aparece com expoente 2, logo a raiz x=1 tem multiplicidade 2.

Resposta

(a) P(1)=0.
(b) A raiz 1 tem multiplicidade 2.

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