Considere um cubo cuja diagonal mede
.
Qual é a distância do centro de uma face desse cubo até o centro de uma face adjacente?
a)
b)
C)
d)
Qual é a distância do centro de uma face desse cubo até o centro de uma face adjacente?
a)
b)
C)
d)
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos um cubo cuja diagonal espacial (ou seja, a que liga um canto ao canto oposto dentro do cubo) mede
. A pergunta é: qual é a distância do centro de uma face até o centro de uma face que é “vizinha” (adjacente) a ela?
Conteúdo: geometria espacial com cubo, uso do Teorema de Pitágoras em 3D, fórmula da diagonal do cubo e fórmula da distância entre pontos no espaço. Vamos precisar:
Conteúdo: geometria espacial com cubo, uso do Teorema de Pitágoras em 3D, fórmula da diagonal do cubo e fórmula da distância entre pontos no espaço. Vamos precisar:
- Saber que a diagonal do cubo de aresta
é . - Usar coordenadas ou raciocínio de Pitágoras para encontrar a distância entre dois pontos (centros de faces).
Passo 2
Primeiro, expressar a aresta
em função de
.
Sabendo que a diagonal do cubo vale
Sabendo que a diagonal do cubo vale
a gente isola
:
Passo 3
Agora, posicione o cubo num sistema de eixos para visualizar os centros das faces. Por exemplo, imagine o cubo com vértices em
a
.
- O centro da face inferior (no plano
) fica em . - O centro da face lateral (por exemplo, no plano
) fica em .
Passo 4
Para achar a distância entre esses dois pontos, usamos a fórmula
Substituindo:
Passo 5
Basta agora trocar
por
:
Resposta
A alternativa correta é
ou seja, letra a).