Considere um cubo cuja diagonal mede D.
Qual é a distância do centro de uma face desse cubo até o centro de uma face adjacente?
a) raiz66 D
b) 12 D
C) raiz22 D
d) raiz33 D

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos um cubo cuja diagonal espacial (ou seja, a que liga um canto ao canto oposto dentro do cubo) mede . A pergunta é: qual é a distância do centro de uma face até o centro de uma face que é “vizinha” (adjacente) a ela?
Conteúdo: geometria espacial com cubo, uso do Teorema de Pitágoras em 3D, fórmula da diagonal do cubo e fórmula da distância entre pontos no espaço. Vamos precisar:
  • Saber que a diagonal do cubo de aresta é .
  • Usar coordenadas ou raciocínio de Pitágoras para encontrar a distância entre dois pontos (centros de faces).

Passo 2

Primeiro, expressar a aresta D = araiz3 em função de a = Draiz3 .
Sabendo que a diagonal do cubo vale
a gente isola :

Passo 3

Agora, posicione o cubo num sistema de eixos para visualizar os centros das faces. Por exemplo, imagine o cubo com vértices em a .
  • O centro da face inferior (no plano ) fica em .
  • O centro da face lateral (por exemplo, no plano ) fica em .

Passo 4

Para achar a distância entre esses dois pontos, usamos a fórmula
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Substituindo:
d = raizl(0 - tfraca2r)^2 + l(tfraca2 - tfraca2r)^2 + l(tfraca2 - 0r)^2 = raizl(tfraca2r)^2 + 0 + l(tfraca2r)^2 = raiz2cdotl(tfraca2r)^2 = araiz2

Passo 5

Basta agora trocar d = 1raiz2;a = 1raiz2;Draiz3 = Draiz6 = raiz66,D por :

Resposta

A alternativa correta é
boxedraiz66,D
ou seja, letra a).

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