Considere os vetores u=(1,3,-4) e v=(-2,2,7) do R^3.
Qual é o valor de m para que o vetor eta=(11,9, m) seja a combinação linear de u e v ?
a) -41
b) -1
c) 1
d) 41

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar o valor de eta = (11,,9,,m) tal que o vetor
u = (1,3,-4) e v = (-2,2,7)
seja combinação linear dos vetores
no .
Conteúdo: combinação linear de vetores e resolução de um sistema linear.
O que vamos precisar:
  • Entender que dizer “ é combinação linear de e ” significa achar escalares e tais que .
  • Montar um sistema de três equações (uma para cada coordenada).
  • Resolver esse sistema para achar , e, por fim, .

Passo 2

Escrevendo a condição de combinação linear:
[
\eta = a,u + b,v
;\Longrightarrow;
(11,,9,,m)

a,(1,3,-4) + b,(-2,2,7).
]
Isso gera a seguinte igualdade de coordenadas:
  1. eta = a,u + b,v ;Longrightarrow; (11,,9,,m) = a,(1,3,-4) + b,(-2,2,7)

Passo 3

Vamos focar primeiro nas duas primeiras equações para achar e :
Explicando a teoria rapidinho: quando temos duas incógnitas ( ) e duas equações, podemos usar substituição ou eliminação. Aqui vamos somar as equações para eliminar .

Passo 4

Somando (1) e (2):
(a - 2b) + (3a + 2b) = 11 + 9 ;Longrightarrow; 4a = 20 ;Longrightarrow; a = 5
Agora, substitui 5 - 2b = 11 ;Longrightarrow; -2b = 11 - 5 = 6 ;Longrightarrow; b = -3 em :

Passo 5

Com m = acdot(-4) + bcdot 7 = 5cdot(-4) + (-3)cdot 7 = -20 -21 = -41 e vamos na terceira equação pra achar :

Resposta

O valor de que faz combinação linear de e é .

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