Considere as séries A=sumn=1^infty n!n^n e B=sumn=1^infty 3^n n^2n!.
Em relação à convergência e à divergência, as séries A e B são
a) ambas convergentes.
b) ambas divergentes.
c) convergente e divergente, respectivamente.
d) divergente e convergente, respectivamente.

Passo 1

Beleza, a questão dá duas séries infinitas:
A = L=limntoinfty|an+1an|
B =
O conteúdo aqui é “testes de convergência de séries” – em especial o Teste da Razão.
Para usar esse teste, a gente faz
e, se , a série converge absolutamente; se , diverge; se , o teste é inconclusivo.

Passo 2

Vamos aplicar o Teste da Razão na série A.
Definimos
an=n!n^n,
Então
an+1an =(n+1)!(n+1)^,n+1n!n^n =(n+1)!;n^n(n+1)^,n+1;n! =(n+1);n^n(n+1)^,n+1 =n^n(n+1)^n =l(nn+1r)^!n,
Agora note que
l(tfracnn+1r)^n =l(1-tfrac1,n+1r)^n ;xrightarrow[ntoinfty];e^-1;=;tfrac1e,
Logo , o que garante que a série A converge.

Passo 3

Agora a série B. Definimos
bn=3^n,n^2n!,
Aplicando o mesmo teste:
bn+1bn =3^n+1(n+1)^2(n+1)!3^n n^2n! =3^n+1(n+1)^2,n!3^n n^2,(n+1)! =3;(n+1)^2n^2;n!(n+1),n! =3;(n+1)^2n^2,(n+1) =3;n+1n^2,
Para 3;n+1n^2 ;sim;3n ;xrightarrow[ntoinfty]0, grande isso se comporta como
Logo , o que garante que a série B também converge.

Resposta

As duas séries são convergentes. (Alternativa a)

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