Qual é o valor de p para que as retas r:(p+2) x+3 y-5=0 e s: 5 x+(p-1) y+3=0 sejam perpendiculares?
a) -78
b) -132
C) -137
d) -713

Passo 1

Beleza, então o problema diz: “Temos duas retas
r:(p+2)x + 3y - 5 = 0
s:5x + (p-1)y + 3 = 0
E a gente quer achar o valor de pra que elas sejam perpendiculares.”
Isso é um exercício de Geometria Analítica, mais especificamente sobre coeficiente angular (ou declividade) de retas e o critério de perpendicularidade: duas retas são perpendiculares se o produto dos coeficientes angulares (as inclinações) for .
Pra resolver, a gente vai:
  1. descobrir o coeficiente angular de cada reta,
  2. usar o critério ,
  3. resolver a equação e achar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como achamos o coeficiente angular de uma reta dada em forma geral m = -ab. O coeficiente angular é
ar = p+2, br = 3
Então, pra reta mr = m1 = -p+23, temos
as = 5, bs = p-1
logo
ms = m2 = -5,p-1,
Pra reta , temos
logo

Passo 3

Agora usamos o critério de perpendicularidade:
m1 cdot m2 = -1
Substituindo:
l(-p+23r),l(-5p-1r) = -1
Os sinais “-” se multiplicam, dando “+”, então fica
(p+2),53,(p-1) = -1

Passo 4

Resolve essa equação passo a passo:
  1. Multiplica ambos os lados por 5(p+2) = -1 cdot 3(p-1) = -3(p-1) :
5p + 10 = -3p + 3
  1. Expande:
5p + 3p = 3 - 10 Longrightarrow 8p = -7
  1. Junta termos com p = -78 num lado e constantes no outro:
  1. Divide por 8:

Resposta

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