Considere as curvas
e
. Encontre um intervalo de tamanho 0.5 que possui a intersecção entre as curvas. Justifique.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar um intervalo de comprimento 0,5 onde as curvas
u(x)=5x e v(x)=e^(−5x²) se cruzam.
Conteúdo: Teorema do Valor Intermediário (TVI) em funções contínuas.
O que vamos precisar:
u(x)=5x e v(x)=e^(−5x²) se cruzam.
Conteúdo: Teorema do Valor Intermediário (TVI) em funções contínuas.
O que vamos precisar:
- Notar que a função f(x)=u(x)−v(x) é contínua (já que soma, produto e exponencial são contínuos).
- Escolher dois pontos a e b com b−a=0,5 tais que f(a)·f(b)<0. Aí o TVI garante uma raiz em (a,b), isto é, uma intersecção.
Passo 2
Definimos
Como u e v são contínuas em ℝ, f também é contínua em ℝ. Agora só falta achar a e b, com b−a=0,5, onde f muda de sinal.
Passo 3
Vamos testar a=0{,}1 e b=0{,}6 (afinal 0,6−0,1=0,5):
– Em x=0{,}1:
– Em x=0{,}1:
Aqui f(0{,}1)<0.
– Em x=0{,}6:
Aqui f(0{,}6)>0.
Passo 4
Como f é contínua e f(0,1)·f(0,6)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe c em (0,1;0,6) tal que f©=0, ou seja, u©=v©.
Resposta
Um intervalo de tamanho 0,5 que contém a intersecção é [0,1; 0,6].