Considere as curvas u(x)=5 x e v(x)=e^-5 x^2. Encontre um intervalo de tamanho 0.5 que possui a intersecção entre as curvas. Justifique.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar um intervalo de comprimento 0,5 onde as curvas
u(x)=5x e v(x)=e^(−5x²) se cruzam.
Conteúdo: Teorema do Valor Intermediário (TVI) em funções contínuas.
O que vamos precisar:
  1. Notar que a função f(x)=u(x)−v(x) é contínua (já que soma, produto e exponencial são contínuos).
  2. Escolher dois pontos a e b com b−a=0,5 tais que f(a)·f(b)<0. Aí o TVI garante uma raiz em (a,b), isto é, uma intersecção.

Passo 2

Definimos
f(x)=u(x)-v(x)=5x - e^-5x^2
Como u e v são contínuas em ℝ, f também é contínua em ℝ. Agora só falta achar a e b, com b−a=0,5, onde f muda de sinal.

Passo 3

Vamos testar a=0{,}1 e b=0{,}6 (afinal 0,6−0,1=0,5):
– Em x=0{,}1:
f(0,1)=5cdot0,1 - e^-5(0,1)^2 =0,5 - e^-0,05 approx 0,5 - 0,9512 =-0,4512
Aqui f(0{,}1)<0.  
– Em x=0{,}6:
f(0,6)=5cdot0,6 - e^-5(0,6)^2 =3 - e^-1,8 approx 3 - 0,1653 =2,8347
Aqui f(0{,}6)>0.

Passo 4

Como f é contínua e f(0,1)·f(0,6)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe c em (0,1;0,6) tal que f©=0, ou seja, u©=v©.

Resposta

Um intervalo de tamanho 0,5 que contém a intersecção é [0,1; 0,6].

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