Utilize o método de Newton para encontrar uma raiz da equação x^2-10 x+10-ln x=0 com erro relativo menor que 10^-7.

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra usar o método de Newton (que serve pra achar raízes de funções) na equação
f(x)=x^2-10x+10-ln x=0
e parar quando o erro relativo for menor que xn+1=xn-f(xn)f'(xn) .
Conteúdo: Método de Newton para raízes, derivada da função e critério de parada por erro relativo.
O que vamos precisar:
  1. Definir |xn+1-xn||xn+1|<10^-7 e .
  2. Escolher um chute inicial razoável (a gente vê que a raiz tá entre 1 e 2).
  3. Aplicar a fórmula de Newton iterativamente
  1. Calcular até que

Passo 2

Definindo a função e sua derivada:
f(x)=x^2-10x+10-ln x,
f'(x)=2x-10-1x
Aí a iteração de Newton fica
[
x_{n+1}

x_n - \frac{x_n^{2}-10x_n+10-\ln x_n}{2x_n-10-\frac1{x_n}}.
]
Como vimos xn+1 = xn - xn^2-10xn+10-ln xn2xn-10-1xn e , a raiz está entre 1 e 2. Vamos começar com .

Passo 3

Iteramos:
  1. Calcule x1 = x0 - f(x0)f'(x0) e .
  2. Atualize
  1. Verifique o erro relativo
    .
    Se ainda for maior que , repita com , etc.

Passo 4

Fazendo as contas (arredondando um pouco pra não ficar gigante):
x₀ = 1,10000000
f(x₀) ≃ 0,1146898
f′(x₀) ≃ −8,7090909
→ x₁ = 1,11316788
erro relativo ≃ 1,18×10⁻² (ainda grande)
x₁ = 1,11316788
f(x₁) ≃ 8,469×10⁻⁵
f′(x₁) ≃ −8,6716741
→ x₂ = 1,11317893
erro relativo ≃ 9,3×10⁻⁶ (ainda >10⁻⁷)
x₂ = 1,11317893
f(x₂) ≃ 1,092×10⁻⁶
f′(x₂) ≃ −8,6718239
→ x₃ = 1,11317906
erro relativo ≃ 9,8×10⁻⁸ (<10⁻⁷) → paramos.

Resposta

A raiz aproximada com erro relativo menor que boxedxapprox1,11317906 é

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