Utilize o método de Newton para encontrar uma raiz da equação
com erro relativo menor que
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra usar o método de Newton (que serve pra achar raízes de funções) na equação
e parar quando o erro relativo for menor que
.
Conteúdo: Método de Newton para raízes, derivada da função e critério de parada por erro relativo.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Método de Newton para raízes, derivada da função e critério de parada por erro relativo.
O que vamos precisar:
- Definir
e . - Escolher um chute inicial razoável (a gente vê que a raiz tá entre 1 e 2).
- Aplicar a fórmula de Newton iterativamente
- Calcular até que
Passo 2
Definindo a função e sua derivada:
Aí a iteração de Newton fica
[
x_{n+1}
x_n - \frac{x_n^{2}-10x_n+10-\ln x_n}{2x_n-10-\frac1{x_n}}.
]
]
Como vimos
e
, a raiz está entre 1 e 2. Vamos começar com
.
Passo 3
Iteramos:
- Calcule
e . - Atualize
- Verifique o erro relativo
.
Se ainda for maior que, repita com , etc.
Passo 4
Fazendo as contas (arredondando um pouco pra não ficar gigante):
x₀ = 1,10000000
f(x₀) ≃ 0,1146898
f′(x₀) ≃ −8,7090909
→ x₁ = 1,11316788
erro relativo ≃ 1,18×10⁻² (ainda grande)
x₀ = 1,10000000
f(x₀) ≃ 0,1146898
f′(x₀) ≃ −8,7090909
→ x₁ = 1,11316788
erro relativo ≃ 1,18×10⁻² (ainda grande)
x₁ = 1,11316788
f(x₁) ≃ 8,469×10⁻⁵
f′(x₁) ≃ −8,6716741
→ x₂ = 1,11317893
erro relativo ≃ 9,3×10⁻⁶ (ainda >10⁻⁷)
f(x₁) ≃ 8,469×10⁻⁵
f′(x₁) ≃ −8,6716741
→ x₂ = 1,11317893
erro relativo ≃ 9,3×10⁻⁶ (ainda >10⁻⁷)
x₂ = 1,11317893
f(x₂) ≃ 1,092×10⁻⁶
f′(x₂) ≃ −8,6718239
→ x₃ = 1,11317906
erro relativo ≃ 9,8×10⁻⁸ (<10⁻⁷) → paramos.
f(x₂) ≃ 1,092×10⁻⁶
f′(x₂) ≃ −8,6718239
→ x₃ = 1,11317906
erro relativo ≃ 9,8×10⁻⁸ (<10⁻⁷) → paramos.
Resposta
A raiz aproximada com erro relativo menor que
é