O que podemos afirmar sobre as raizes de
utilizando o teorema do disco e do disco inverso?
Passo 1
Beleza, a gente quer achar uma “casinha” no plano complexo onde todas as raízes de
vão morar. O tema aqui é usar o Teorema do Disco (uma versão do limite de Cauchy para raiz) e o Teorema do Disco Inverso (o limite de Cauchy inferior). Vamos precisar saber as fórmulas desses dois teoremas e depois calcular os máximos dos coeficientes.
Passo 2
Aplicando o Teorema do Disco (limite superior):
Para um polinômio
Para um polinômio
toda raiz
satisfaz
No nosso caso
e os outros coeficientes são
.
Logo
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Passo 3
Aplicando o Teorema do Disco Inverso (limite inferior):
Para o mesmo polinômio, se , toda raiz
satisfaz
Para o mesmo polinômio, se
Aqui
e o máximo dos outros coeficientes é de novo
. Então
Resposta
Todas as raízes de
ficam no anel