O que podemos afirmar sobre as raizes de p(z)=x^4+8 x^3-2 x^2-9 x+5 utilizando o teorema do disco e do disco inverso?

Passo 1

Beleza, a gente quer achar uma “casinha” no plano complexo onde todas as raízes de
p(x)=x^4+8x^3-2x^2-9x+5
vão morar. O tema aqui é usar o Teorema do Disco (uma versão do limite de Cauchy para raiz) e o Teorema do Disco Inverso (o limite de Cauchy inferior). Vamos precisar saber as fórmulas desses dois teoremas e depois calcular os máximos dos coeficientes.

Passo 2

Aplicando o Teorema do Disco (limite superior):
Para um polinômio
anx^n+an-1x^n-1+cdots+a1x+a0
toda raiz |z|;<=;1 ;+;max0<= k satisfaz
max(|8|,|-2|,|-9|,|5|)=9 Longrightarrow |z|<=1+9=10
No nosso caso e os outros coeficientes são .
Logo

Passo 3

Aplicando o Teorema do Disco Inverso (limite inferior):
Para o mesmo polinômio, se |z|;>=;|a0|,|a0|+max1<= k<= n|ak|, , toda raiz |z|;>=;55+9=514approx0,357 satisfaz
Aqui e o máximo dos outros coeficientes é de novo
. Então

Resposta

Todas as raízes de 514;<=;|z|;<=;10 ficam no anel

Exercícios relacionados