Utilize o método da secante (ou aproxime a derivada no método de Newton) para encontrar uma interseccão entre as curvas
e
com erro relativo menor que
.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente achar o ponto em que
f(x)=\sqrt{|x-2|}
\quad\text{e}\quad
g(x)=e^x
se intersectam, ou seja, resolver
h(x)\;=\;\sqrt{|x-2|}\;-\;e^x\;=\;0
Usamos o método da secante (um método numérico pra achar raízes sem precisar calcular derivada exata) até que o erro relativo
\displaystyle\frac{|x_{n+1}-x_n|}{|x_{n+1}|}
fique abaixo de
.
Conteúdo principal: métodos numéricos (secante), definição de erro relativo e iteração até convergir.
Passo 2
Primeiro, escolhemos dois palpites iniciais onde
mude de sinal. Vendo rapidamente o gráfico,
e
. Então:
x_0 = 0.26,\quad x_1 = 0.28.
Definimos
h(x)\;=\;\sqrt{2-x}\;-\;e^x \quad(x<2)
e lembramos a fórmula da secante:
x_{n+1}
=\;x_n
\;-\;h(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{\,h(x_n)-h(x_{n-1})\,}.
Passo 3
Iteração 1:
- Calcula-se
h(x_0)=h(0.26)\approx1.31909-1.29671=0.02238, \quad h(x_1)=h(0.28)\approx1.31148-1.32313=-0.01165.
- Aplica a fórmula da secante:
x_2 =0.28 -(-0.01165)\, \frac{0.28-0.26}{-0.01165-0.02238} \approx0.27316.
- Erro relativo ≈
então continua.\frac{|0.27316-0.28|}{0.27316}\approx0.000025\;>\;10^{-7},
Passo 4
Iteração 2:
- Avaliando
: h(0.27316)\approx1.31388-1.31403=-0.00015,
- Próximo ponto:
x_3 =0.27316 -(-0.00015)\, \frac{0.27316-0.28}{-0.00015-(-0.01165)} \approx0.273074.
- Erro relativo ≈
\frac{|0.273074-0.27316|}{0.273074}\approx3.1\times10^{-4}\;>\;10^{-7}.
Passo 5
Iteração 3:
- Avaliando
de novo: h(0.273074)\approx1.31393-1.31394\approx-1\times10^{-5},
- Secante dá
x_4 =0.273074 -(-1\times10^{-5})\, \frac{0.273074-0.27316}{-1\times10^{-5}-(-0.00015)} \approx0.2730650.
- Erro relativo ≈
\frac{|0.2730650-0.273074|}{0.2730650}\approx3.3\times10^{-5}\;>\;10^{-7}.
Passo 6
Iteração 4:
- Calcula
. - Nova secante:
x_5\approx0.2730660.
- Erro relativo ≈
ainda maior que\frac{|0.2730660-0.2730650|}{0.2730660} \approx3.7\times10^{-6}\;<\;10^{-5},
, mas já muito pequenino.
Repetindo mais uma rodada, chegamos a
com erro relativox_6\approx0.27306599,
\approx9\times10^{-8}<10^{-7}.
Resposta
A interseção fica em
x\approx0.27306599,
com erro relativo menor que
.