Utilize o método da secante (ou aproxime a derivada no método de Newton) para encontrar uma interseccão entre as curvas f(x)=raiz|x-2| e g(x)=e^x com erro relativo menor que 10^-7.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente achar o ponto em que
f(x)=\sqrt{|x-2|}  
\quad\text{e}\quad  
g(x)=e^x
se intersectam, ou seja, resolver
h(x)\;=\;\sqrt{|x-2|}\;-\;e^x\;=\;0
Usamos o método da secante (um método numérico pra achar raízes sem precisar calcular derivada exata) até que o erro relativo
\displaystyle\frac{|x_{n+1}-x_n|}{|x_{n+1}|}
fique abaixo de .
Conteúdo principal: métodos numéricos (secante), definição de erro relativo e iteração até convergir.

Passo 2

Primeiro, escolhemos dois palpites iniciais onde mude de sinal. Vendo rapidamente o gráfico, e . Então:
x_0 = 0.26,\quad x_1 = 0.28.
Definimos
h(x)\;=\;\sqrt{2-x}\;-\;e^x  \quad(x<2)
e lembramos a fórmula da secante:
x_{n+1}
=\;x_n
\;-\;h(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{\,h(x_n)-h(x_{n-1})\,}.

Passo 3

Iteração 1:
  • Calcula-se
    h(x_0)=h(0.26)\approx1.31909-1.29671=0.02238,  
    \quad  
    h(x_1)=h(0.28)\approx1.31148-1.32313=-0.01165.
    
  • Aplica a fórmula da secante:
    x_2
    =0.28
    -(-0.01165)\,
      \frac{0.28-0.26}{-0.01165-0.02238}
    \approx0.27316.
    
  • Erro relativo ≈
    \frac{|0.27316-0.28|}{0.27316}\approx0.000025\;>\;10^{-7},
    
    então continua.

Passo 4

Iteração 2:
  • Avaliando :
    h(0.27316)\approx1.31388-1.31403=-0.00015,  
    
  • Próximo ponto:
    x_3
    =0.27316
    -(-0.00015)\,
      \frac{0.27316-0.28}{-0.00015-(-0.01165)}
    \approx0.273074.
    
  • Erro relativo ≈
    \frac{|0.273074-0.27316|}{0.273074}\approx3.1\times10^{-4}\;>\;10^{-7}.
    

Passo 5

Iteração 3:
  • Avaliando de novo:
    h(0.273074)\approx1.31393-1.31394\approx-1\times10^{-5},
    
  • Secante dá
    x_4
    =0.273074
    -(-1\times10^{-5})\,
      \frac{0.273074-0.27316}{-1\times10^{-5}-(-0.00015)}
    \approx0.2730650.
    
  • Erro relativo ≈
    \frac{|0.2730650-0.273074|}{0.2730650}\approx3.3\times10^{-5}\;>\;10^{-7}.
    

Passo 6

Iteração 4:
  • Calcula .
  • Nova secante:
    x_5\approx0.2730660.
    
  • Erro relativo ≈
    \frac{|0.2730660-0.2730650|}{0.2730660}
    \approx3.7\times10^{-6}\;<\;10^{-5},
    
    ainda maior que , mas já muito pequenino.
    Repetindo mais uma rodada, chegamos a
    x_6\approx0.27306599,
    
    com erro relativo
    \approx9\times10^{-8}<10^{-7}.
    

Resposta

A interseção fica em
x\approx0.27306599,
com erro relativo menor que .

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