Deduzir a partir da composição de operadores de diferenças, fórmulas de ordem 1 e de ordem 2 para aproximar as derivadas u^(3)(x) e u^(4)(x). Calcule os erros de truncamento e mostre que as aproximações encontradas possuem as ordens esperadas.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar aproximações por diferenças finitas (operatorialmente) das derivadas de ordem 3 e 4 de uma função u^(3)(x) e u^(4)(x) . Em outras palavras, a gente vai usar os operadores de diferença – o avanço e o central – e série de Taylor pra “montar” fórmulas que dêem
  1. uma aproximação de ordem (chamamos de ordem 1)
  2. outra de ordem (chamamos de ordem 2)
    para
O que precisamos:
  • Definição dos operadores e .
  • Composição e .
  • Série de Taylor até grau 4 pra estimar os erros de truncamento.

Passo 2

Aproximações de ordem 1 ( De) usando o operador para frente De.
  1. Definição básica:
u^(3)(xi) approx De
  1. Terceira derivada:
De
logo
u^(4)(xi) approx De
Expandindo em Taylor mostra que o erro é .
  1. Quarta derivada:
logo
também com erro .

Passo 3

Aproximações de ordem 2 ( de) usando o operador central
de
  1. Terceira derivada: calcula-se u^(3)(xi) approx de. Dá
u^(4)(xi) approx ui-2-4,ui-1+6,ui-4,ui+1+ui+2h^4 = u(x-2h)-4u(x-h)+6u(x)-4u(x+h)+u(x+2h)h^4,
portanto
com erro .
  1. Quarta derivada: basta usar , mas fica mais comum a forma “5 pontos”
também com erro .

Passo 4

Bast a expandir cada termo em Taylor até a ordem certa e ver que:
  • Na aproximação de ordem 1 sobra termo proporcional a ou , então erro .
  • Na de ordem 2 os erros começam em , confirmando .

Resposta

Ordens e erros resumidos:
  1. Ordem 1, erro u^(3)(x)approxu(x+3h)-3u(x+2h)+3u(x+h)-u(x)h^3, u^(4)(x)approxu(x+4h)-4u(x+3h)+6u(x+2h)-4u(x+h)+u(x)h^4 :
u^(3)(x)approxu(x+3h)-3u(x+h)+3u(x-h)-u(x-3h)8,h^3, u^(4)(x)approxu(x-2h)-4u(x-h)+6u(x)-4u(x+h)+u(x+2h)h^4
  1. Ordem 2, erro :

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