Deduzir a partir da composição de operadores de diferenças, fórmulas de ordem 1 e de ordem 2 para aproximar as derivadas e . Calcule os erros de truncamento e mostre que as aproximações encontradas possuem as ordens esperadas.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar aproximações por diferenças finitas (operatorialmente) das derivadas de ordem 3 e 4 de uma função . Em outras palavras, a gente vai usar os operadores de diferença – o avanço e o central – e série de Taylor pra “montar” fórmulas que dêem
uma aproximação de ordem (chamamos de ordem 1)
outra de ordem (chamamos de ordem 2)
para
O que precisamos:
Definição dos operadores e .
Composição e .
Série de Taylor até grau 4 pra estimar os erros de truncamento.
Passo 2
Aproximações de ordem 1 () usando o operador para frente .
Definição básica:
Terceira derivada:
logo
Expandindo em Taylor mostra que o erro é .
Quarta derivada:
logo
também com erro .
Passo 3
Aproximações de ordem 2 () usando o operador central
Terceira derivada: calcula-se u^(3)(xi) approx de. Dá