Exercício Computacional: Estude o comportamento da aproximação da derivada de u(x)=e^-x^2 no ponto x=3 / 2 quando h 0.

Passo 1

Beleza, então o problema diz: “Temos a função e queremos ver como a aproximação da derivada em se comporta quando o passo vai a zero.”
Isso é conteúdo de cálculo numérico (diferenças finitas) e um pouquinho de expansão de Taylor. Para resolver a gente vai precisar:
  1. Definir qual aproximação de diferença finita a usar (a mais simples é a diferença à frente).
  2. Fazer a expansão de Taylor de em torno de .
  3. Isolar o erro e ver seu comportamento quando .

Passo 2

Aprox como diferença à frente:
Dhul(3/2r)=ul(tfrac32+hr)-ul(tfrac32r)h
Isso deve ficar cada vez mais perto de conforme .

Passo 3

Expandimos ul(tfrac32+hr) = ul(tfrac32r) + h,u'l(tfrac32r) + h^22,u''(xi) (para algum xiin[tfrac32,tfrac32+h]) em Taylor em torno de Dhul(tfrac32r) =u(tfrac32)+h,u'(tfrac32)+tfrach^22u''(xi)-u(tfrac32)h = u'l(tfrac32r) +h2u''(xi) :
Substituindo na diferença:

Passo 4

Agora precisamos u'(x)=-2x,e^-x^2, u''(x)=l(4x^2-2r)e^-x^2 e u'l(tfrac32r) =-2cdot32,e^-tfrac94 =-3,e^-9/4, .
Para u''l(tfrac32r) =l(4cdot94-2r)e^-9/4 =(9-2)e^-9/4 =7,e^-9/4 :
Em :

Passo 5

Substituindo no erro Dhu(tfrac32) = -3e^-9/4 + underbraceh2,7e^-9/4=O(h) , vemos que para entre e o valor de fica próximo de . Logo
Ou seja, a diferença finita converge à derivada exata com erro que cresce como .

Resposta

A aproximação de diferença à frente em Dhul(tfrac32r) =-3e^-9/4 + 72e^-9/4,h + O(h^2), satisfaz
u'l(tfrac32r)=-3e^-9/4,
logo quando ela converge a
com erro de ordem .

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