Exercício Computacional: Estude o comportamento da aproximação da derivada de no ponto quando .
Passo 1
Beleza, então o problema diz: “Temos a função e queremos ver como a aproximação da derivada em se comporta quando o passo vai a zero.”
Isso é conteúdo de cálculo numérico (diferenças finitas) e um pouquinho de expansão de Taylor. Para resolver a gente vai precisar:
Definir qual aproximação de diferença finita a usar (a mais simples é a diferença à frente).
Fazer a expansão de Taylor de em torno de .
Isolar o erro e ver seu comportamento quando .
Passo 2
Aprox como diferença à frente:
Isso deve ficar cada vez mais perto de conforme .
Passo 3
Expandimos em Taylor em torno de :
Substituindo na diferença:
Passo 4
Agora precisamos e .
Para :
Em :
Passo 5
Substituindo no erro , vemos que para entre e o valor de fica próximo de . Logo
Ou seja, a diferença finita converge à derivada exata com erro que cresce como .
Resposta
A aproximação de diferença à frente em Dhul(tfrac32r) =-3e^-9/4 + 72e^-9/4,h + O(h^2), satisfaz