Considere a EDO y^{\prime \prime}(x)+5 y(x)=\sin (x) e as informações y(0,2)=1,1 e y^{\prime}(0,2)=0,2. Usando h=0,2, estime a imagem de 0,6 usando o método adequado da Lista 1 que possui menor erro.
Importante:
  • Os ângulos estão sempre em radianos; ou seja, o correto é \cos (1,5)=0,0707372 e não \cos (1,5)=0,9996573.
  • Use pelo menos 5 casas decimais em seus números/contas.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem
y''(x) + 5\,y(x) = \sin(x)
com condições iniciais em x_{0}=0{,}2:
y(0{,}2)=1{,}1,\quad y'(0{,}2)=0{,}2,
e pede a estimativa de y(0{,}6) usando h=0{,}2 e o método da Lista 1 de menor erro (o Runge–Kutta de 4ª ordem).

Passo 2

Primeiro transformamos em sistema de primeira ordem definindo
y_{1}=y,\quad y_{2}=y',
de modo que
y_{1}'=y_{2},\quad y_{2}'=\sin(x)-5\,y_{1}.

Passo 3

O esquema de Runge–Kutta de 4ª ordem para cada passo x\to x+h é
\begin{aligned} k_{1,1}&=f_{1}(x,y_{1},y_{2}),\quad k_{1,2}=f_{2}(x,y_{1},y_{2}),\\\ k_{2,1}&=f_{1}\bigl(x+\tfrac{h}{2},y_{1}+\tfrac{h}{2}k_{1,1},y_{2}+\tfrac{h}{2}k_{1,2}\bigr),\\\ k_{2,2}&=f_{2}\bigl(x+\tfrac{h}{2},y_{1}+\tfrac{h}{2}k_{1,1},y_{2}+\tfrac{h}{2}k_{1,2}\bigr),\\\ k_{3,1}&=f_{1}\bigl(x+\tfrac{h}{2},y_{1}+\tfrac{h}{2}k_{2,1},y_{2}+\tfrac{h}{2}k_{2,2}\bigr),\\\ k_{3,2}&=f_{2}\bigl(x+\tfrac{h}{2},y_{1}+\tfrac{h}{2}k_{2,1},y_{2}+\tfrac{h}{2}k_{2,2}\bigr),\\\ k_{4,1}&=f_{1}\bigl(x+h,y_{1}+h\,k_{3,1},y_{2}+h\,k_{3,2}\bigr),\\\ k_{4,2}&=f_{2}\bigl(x+h,y_{1}+h\,k_{3,1},y_{2}+h\,k_{3,2}\bigr), \end{aligned}
em que
f_{1}(x,y_{1},y_{2})=y_{2},\quad f_{2}(x,y_{1},y_{2})=\sin(x)-5\,y_{1}.
Depois,
y_{1}(x+h)=y_{1}(x)+\frac{h}{6}\bigl(k_{1,1}+2k_{2,1}+2k_{3,1}+k_{4,1}\bigr),
y_{2}(x+h)=y_{2}(x)+\frac{h}{6}\bigl(k_{1,2}+2k_{2,2}+2k_{3,2}+k_{4,2}\bigr).

Passo 4

Primeiro passo: de x_{0}=0{,}2 para x_{1}=0{,}4, com y_{1}(0{,}2)=1{,}1, y_{2}(0{,}2)=0{,}2, h=0{,}2.
\begin{aligned} k_{1,1}&=0{,}2,\\\ k_{1,2}&=\sin(0{,}2)-5\cdot1{,}1=0{,}19867-5{,}5=-5{,}30133,\\\ k_{2,1}&=-0{,}33013,\quad k_{2,2}=\sin(0{,}3)-5\cdot1{,}12=0{,}29552-5{,}6=-5{,}30448,\\\ k_{3,1}&=-0{,}33045,\quad k_{3,2}=\sin(0{,}3)-5\cdot1{,}06699=0{,}29552-5{,}33493=-5{,}03941,\\\ k_{4,1}&=-0{,}80788,\quad k_{4,2}=\sin(0{,}4)-5\cdot1{,}03391=0{,}38942-5{,}16955=-4{,}78013. \end{aligned}
Então
y_{1}(0{,}4)=1{,}1+\frac{0{,}2}{6}(-1{,}92904)\approx1{,}03570,
y_{2}(0{,}4)=0{,}2+\frac{0{,}2}{6}(-30{,}76925)\approx-0{,}82564.

Passo 5

Segundo passo: de x_{1}=0{,}4 para x_{2}=0{,}6, com y_{1}(0{,}4)=1{,}03570, y_{2}(0{,}4)=-0{,}82564.
\begin{aligned} k_{1,1}&=-0{,}82564,\\\ k_{1,2}&=\sin(0{,}4)-5\cdot1{,}03570=0{,}38942-5{,}17850=-4{,}78907,\\\ k_{2,1}&=-1{,}30455,\quad k_{2,2}=\sin(0{,}5)-5\cdot0{,}95313=0{,}47943-4{,}76567=-4{,}28625,\\\ k_{3,1}&=-1{,}25427,\quad k_{3,2}=\sin(0{,}5)-5\cdot0{,}90524=0{,}47943-4{,}52622=-4{,}04679,\\\ k_{4,1}&=-1{,}63500,\quad k_{4,2}=\sin(0{,}6)-5\cdot0{,}78485=0{,}56499-3{,}92423=-3{,}35924. \end{aligned}
Logo
y_{1}(0{,}6)=1{,}03570+\frac{0{,}2}{6}(-7{,}57827)\approx0{,}78309.

Resposta

A estimativa por RK4 para y(0{,}6) é aproximadamente
\boxed{0{,}78309}.

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