Prove por absurdo as seguintes proposições:
Se \mathrm{a}+\mathrm{b} é ímpar, então um é par e o outro é ímpar.

Passo 1

O enunciado pede que provemos, por absurdo, a proposição: “Se a + b é ímpar, então um dos números a,b é par e o outro é ímpar.”
O conteúdo é paridade de inteiros e prova por contradição. Vamos usar a definição de número par e ímpar:
\text{par} \Longleftrightarrow \exists m\in\mathbb{Z}: n=2m, \qquad \text{ímpar} \Longleftrightarrow \exists m\in\mathbb{Z}: n=2m+1.í

Passo 2

Suponhamos, visando um absurdo, que a+b seja ímpar e, ao mesmo tempo, que não ocorra “um é par e o outro é ímpar”. Logo, ou ambos são pares ou ambos são ímpares.

Passo 3

Caso 1: suponha que a e b sejam ambos pares. Então existem m,n\in\mathbb{Z} tais que
a = 2m, \quad b = 2n.
Logo
a+b = 2m + 2n = 2(m+n),
que é par, contradizendo a hipótese de a+b ímpar.
Caso 2: suponha que a e b sejam ambos ímpares. Então existem m,n\in\mathbb{Z} tais que
a = 2m + 1, \quad b = 2n + 1.
Logo
a+b = (2m+1) + (2n+1) = 2(m+n+1),
que de novo é par, também contradizendo a hipótese de a+b ímpar.

Passo 4

Em ambas as situações (ambos pares ou ambos ímpares) obtemos que a+b é par, o que contraria o fato dado de que a+b é ímpar. Portanto nossa hipótese auxiliar está errada.

Resposta

Se a+b é ímpar, então necessariamente um dos números é par e o outro é ímpar.

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