Prove por absurdo as seguintes proposições:
Se
é ímpar, então um é par e o outro é ímpar.
Se
Passo 1
O enunciado pede que provemos, por absurdo, a proposição: “Se
é ímpar, então um dos números
é par e o outro é ímpar.”
O conteúdo é paridade de inteiros e prova por contradição. Vamos usar a definição de número par e ímpar:
O conteúdo é paridade de inteiros e prova por contradição. Vamos usar a definição de número par e ímpar:
Passo 2
Suponhamos, visando um absurdo, que
seja ímpar e, ao mesmo tempo, que não ocorra “um é par e o outro é ímpar”. Logo, ou ambos são pares ou ambos são ímpares.
Passo 3
Caso 1: suponha que
e
sejam ambos pares. Então existem
tais que
Logo
que é par, contradizendo a hipótese de
ímpar.
Caso 2: suponha que
e
sejam ambos ímpares. Então existem
tais que
Logo
que de novo é par, também contradizendo a hipótese de
ímpar.
Passo 4
Em ambas as situações (ambos pares ou ambos ímpares) obtemos que
é par, o que contraria o fato dado de que
é ímpar. Portanto nossa hipótese auxiliar está errada.
Resposta
Se
é ímpar, então necessariamente um dos números é par e o outro é ímpar.