Considere a EDO y^{\prime \prime}(x)-2 y^{\prime}(x)+5 y(x)=e^{x} e as informações y(0,2)=1,1 e y(1)=4. Usando h=0,2, estime a imagem de 0,6 usando o método adequado da Lista 1 que possui menor erro.
Passo 1
O enunciado é um problema de valor de contorno para a EDO
y''(x)-2y'(x)+5y(x)=e^{x},
com as condições y(0{,}2)=1{,}1 e y(1)=4. Queremos estimar y(0{,}6) usando h=0{,}2 e o método da Lista 1 com maior ordem de precisão. Para EDO de segunda ordem lineares é o método de diferenças finitas centrais (equivalente à fórmula de ordem 2 para y'' e y'), que gera erro O(h^2) e é o mais preciso apresentado na lista.
Passo 2
Discretizamos o intervalo [0{,}2,\,1] em nós x_i=0{,}2+0{,}2\,i, i=0,\dots,4. Definimos y_i\approx y(x_i). As aproximações centrais são
Como temos y_0=y(0{,}2)=1{,}1\) e \(y_4=y(1)=4\), montamos o sistema para \(i=1,2,3\):
\[\begin{cases} 0{,}8\,y_{2}-1{,}8\,y_{1}+1{,}2\,y_{0} =0{,}04\,e^{0{,}4},\\[6pt] 0{,}8\,y_{3}-1{,}8\,y_{2}+1{,}2\,y_{1} =0{,}04\,e^{0{,}6},\\[6pt] 0{,}8\,y_{4}-1{,}8\,y_{3}+1{,}2\,y_{2} =0{,}04\,e^{0{,}8}. \end{cases}
Substituindo y_0=1{,}1\] e \(y_4=4 e calculando 0{,}04e^{x_i}: