Considere a EDO y^{\prime \prime}(x)-2 y^{\prime}(x)+5 y(x)=e^{x} e as informações y(0,2)=1,1 e y(1)=4. Usando h=0,2, estime a imagem de 0,6 usando o método adequado da Lista 1 que possui menor erro.

Passo 1

O enunciado é um problema de valor de contorno para a EDO
y''(x)-2y'(x)+5y(x)=e^{x},
com as condições y(0{,}2)=1{,}1 e y(1)=4. Queremos estimar y(0{,}6) usando h=0{,}2 e o método da Lista 1 com maior ordem de precisão. Para EDO de segunda ordem lineares é o método de diferenças finitas centrais (equivalente à fórmula de ordem 2 para y'' e y'), que gera erro O(h^2) e é o mais preciso apresentado na lista.

Passo 2

Discretizamos o intervalo [0{,}2,\,1] em nós x_i=0{,}2+0{,}2\,i, i=0,\dots,4. Definimos y_i\approx y(x_i). As aproximações centrais são
y''(x_i)\approx\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}, \quad y'(x_i)\approx\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}.
Substituindo na EDO em x_i e multiplicando por h^2 obtemos a equação de diferenças
y_{i+1}-2y_i+y_{i-1} \;-\;h\,(y_{i+1}-y_{i-1}) \;+\;5h^2\,y_i \;=\;h^2\,e^{x_i}.
Para h=0{,}2 isso vira
0{,}8\,y_{i+1}-1{,}8\,y_i+1{,}2\,y_{i-1} =\;0{,}04\,e^{x_i}.

Passo 3

Como temos y_0=y(0{,}2)=1{,}1\) e \(y_4=y(1)=4\), montamos o sistema para \(i=1,2,3\): \[\begin{cases} 0{,}8\,y_{2}-1{,}8\,y_{1}+1{,}2\,y_{0} =0{,}04\,e^{0{,}4},\\[6pt] 0{,}8\,y_{3}-1{,}8\,y_{2}+1{,}2\,y_{1} =0{,}04\,e^{0{,}6},\\[6pt] 0{,}8\,y_{4}-1{,}8\,y_{3}+1{,}2\,y_{2} =0{,}04\,e^{0{,}8}. \end{cases}
Substituindo y_0=1{,}1\] e \(y_4=4 e calculando 0{,}04e^{x_i}:
\begin{cases} -1{,}8\,y_1+0{,}8\,y_2 =0{,}04e^{0{,}4}-1{,}32,\\[3pt] 1{,}2\,y_1-1{,}8\,y_2+0{,}8\,y_3 =0{,}04e^{0{,}6},\\[3pt] 1{,}2\,y_2-1{,}8\,y_3 =0{,}04e^{0{,}8}-3{,}2. \end{cases}]

Passo 4

Numerando os valores aproximados de 0{,}04e^{x_i}:
0{,}04e^{0{,}4}\approx0{,}059672,\quad 0{,}04e^{0{,}6}\approx0{,}072884,\quad 0{,}04e^{0{,}8}\approx0{,}089022.
O sistema fica
\begin{cases} -1{,}8\,y_1+0{,}8\,y_2 =-1{,}260328,\\[3pt] 1{,}2\,y_1-1{,}8\,y_2+0{,}8\,y_3 =0{,}072884,\\[3pt] 1{,}2\,y_2-1{,}8\,y_3 =-3{,}110978. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo em cadeia: da primeira equação
y_1=\frac{1{,}260328+0{,}8\,y_2}{1{,}8},
substituímos na segunda e depois, juntamente com a terceira, eliminamos y_3. A resolução numérica dá
y_2\approx2{,}931053.
Isso significa y(0{,}6)\approx y_2\approx2{,}93.

Resposta

y(0{,}6)\approx2{,}93

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