Identifique a função e o intervalo (ou os valores iniciais forriecidos.
  • Aplique o método solicitado (bisseção ou secante) para encontrar uma aproximação da raiz f(x)=0.
  • Efetue duas óu três iterações, conforme o enuncíado.
  • Utilize quatro casas decimais nos resultados.
    Um sistema elétrico apresenta o comportamento descrito pela função f(\theta)=\cos (\theta)-0,7 para 0<\theta<\frac{\pi}{2}. Use método da secante com x_{0}=0,5 e x_{1}=1 para determinar a aproximação do ângulo \theta com dủas iteraçōes:

Passo 1

O enunciado dá a função
f(\theta)=\cos(\theta)-0,7
no intervalo 0<\theta<\tfrac{\pi}{2} e pede a raiz de f(\theta)=0 usando o método da secante com x_0=0,5 e x_1=1, efetuando duas iterações e arredondando a quatro casas decimais.

Passo 2

O método da secante gera uma sequência \{x_n\} aproximando a raiz, usando a reta que passa por (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)). A fórmula de iteração é
x_{n+1} \;=\; x_n \;-\; f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}.

Passo 3

Calculamos f nos pontos iniciais:
f(x_0)=f(0,5)=\cos(0,5)-0,7\approx0,8776-0,7=0,1776,
f(x_1)=f(1)=\cos(1)-0,7\approx0,5403-0,7=-0,1597.

Passo 4

Aplicando a fórmula para obter x_2:
x_2 = 1 \;-\; (-0,1597)\frac{1-0,5}{-0,1597-0,1776} \;\approx\;1 - \frac{-0,07985}{-0,3373} \;\approx\;0,7632.

Passo 5

Avaliamo-s f(x_2):
f(0,7632)=\cos(0,7632)-0,7\approx0,7218-0,7=0,0218.

Passo 6

Uma segunda iteração fornece x_3:
x_3 = 0,7632 \;-\; 0,0218\frac{0,7632-1}{0,0218 - (-0,1597)} \;\approx\;0,7632 - \frac{-0,005163}{0,1815} \;\approx\;0,7916.

Resposta

Aproximação da raiz após duas iterações: \theta\approx0,7916 (rad).

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