Considere a EDO y^prime(x)=-2 x y^2, com y(0)=1. Estime a solução numérica no intervalo [0,1] usando o método de Euler com h=0,1.
Resolva novamente a EDO da questão 7 usando o método de RungeKutta de 2^ a ordem (RK2) com h=0,1.

Passo 1

Beleza, temos aqui uma EDO (equação diferencial ordinária)
y' = -2,x,y^2, y(0)=1
Queremos aproximar a solução em yn+1=yn + h,f(xn,yn) com passo k1 = f(xn,yn), k2 = fl(xn + tfrac h2,;yn + tfrac h2,k1r), yn+1 = yn + h,k2 . Isso cai em “métodos numéricos para EDOs de valor inicial”. Para isso a gente vai precisar:
  • Da definição de .
  • Da fórmula do método de Euler simples:
  • Da fórmula do método de Runge–Kutta de 2ª ordem (RK2, método do ponto médio):
A partir de agora, vambora computar passo a passo.

Passo 2

  1. Defino yn+1 = yn + 0,1;l(-2,xn,yn^2r) , (xn,yn)approx& (0,0,1,0000),,(0,1,1,0000),,(0,2,0,9800),,(0,3,0,9416), & (0,4,0,8884),,(0,5,0,8252),,(0,6,0,7571), & (0,7,0,6884),,(0,8,0,5601),,(0,9,0,5036),,(1,0,0,5036) .
  2. A cada passo uso
  3. Faço as contas iterando de até . Os primeiros termos:
    • : , , .
    • : , , .
    • E assim por diante até .
Os valores aproximados ficam:

Passo 3

  1. Mesma k1 = f(xn,yn), k2 = fl(xn+0,05,;yn+0,05,k1r), yn+1=yn+0,1,k2 , inicial (xn,yn)approx& (0,0,1,0000),,(0,1,0,9900),,(0,2,0,9612),,(0,3,0,9167), & (0,4,0,8610),,(0,5,0,7988),,(0,6,0,7341), & (0,7,0,6701),,(0,8,0,6088),,(0,9,0,5517),,(1,0,0,4995) , .
  2. Em cada passo calculo
  3. Itero de a . Os primeiros:
    • : , .
    • : , , , .
    • E segue até .
Os valores aproximados ficam:

Resposta

– Com o método de Euler:
.
– Com o método RK2 de 2ª ordem:
.

Exercícios relacionados