Verifique, por indução, as seguintes fórmulas para n >= 1:
1+2^3+3^3+ldots+n^3=[n(n+1)2]^2

Passo 1

Beleza, a gente quer provar por indução que, para todo 1^3 + 2^3 + 3^3 + cdots + n^3 ;=;l(tfracn(n+1)2r)^2 ,
Conteúdo: prova por indução matemática.
O que vamos precisar:
  • Mostrar que a fórmula vale para (caso base).
  • Assumir que vale para (hipótese de indução).
  • Provar que, sob essa hipótese, vale para (passo indutivo).

Passo 2

(Caso base) Para :
Lado esquerdo é .
Lado direito é .
Então os dois lados coincidem: a fórmula vale pra .

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que, para algum 1^3 + 2^3 + cdots + k^3 = l(tfrack(k+1)2r)^2 , valha
A gente vai usar isso pra mostrar que também vale para .

Passo 4

(Passo indutivo) Considere a soma até 1^3 + 2^3 + cdots + k^3 + (k+1)^3 :
1^3 + cdots + k^3 + (k+1)^3 = l(tfrack(k+1)2r)^2 + (k+1)^3
Pela hipótese de indução, a parte até l(tfrac(k+1)(k+2)2r)^2 é l(tfrack(k+1)2r)^2 + (k+1)^3 = k^2(k+1)^24 + (k+1)^3 = (k+1)^2!(k^24 + (k+1)) . Então
= (k+1)^2!(k^2 + 4(k+1)4) = (k+1)^2!(k^2 + 4k +44) = (k+1)^2!((k+2)^24) = l(tfrac(k+1)(k+2)2r)^2
Agora é só fazer a conta pra ver que isso dá
Detalhando o álgebra:
Colocando tudo sobre 4:
Pronto! Então, se vale para , vale para .

Resposta

Por indução, concluímos que para todo 1^3 + 2^3 + cdots + n^3 = l(tfracn(n+1)2r)^2

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