Verifique, por indução, as seguintes fórmulas para
:
Passo 1
Beleza, a gente quer provar por indução que, para todo
,
Conteúdo: prova por indução matemática.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Mostrar que a fórmula vale para
(caso base). - Assumir que vale para
(hipótese de indução). - Provar que, sob essa hipótese, vale para
(passo indutivo).
Passo 2
(Caso base) Para
:
Lado esquerdo é .
Lado direito é .
Então os dois lados coincidem: a fórmula vale pra .
Lado esquerdo é
Lado direito é
Então os dois lados coincidem: a fórmula vale pra
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que, para algum
, valha
A gente vai usar isso pra mostrar que também vale para
.
Passo 4
(Passo indutivo) Considere a soma até
:
Pela hipótese de indução, a parte até
é
. Então
Agora é só fazer a conta pra ver que isso dá
Detalhando o álgebra:
Colocando tudo sobre 4:
Pronto! Então, se vale para
, vale para
.
Resposta
Por indução, concluímos que para todo