Considere a progressão geométrica (P.G.) de razão q neq 1 e primeiro termo a1.
Mostre que a soma Sn dos n primeiros termos desta progressão é dada por Sn=an q-a1q-1.

Passo 1

Beleza, então o enunciado tá dizendo que a gente tem uma progressão geométrica (P.G.) com primeiro termo a1 e razão qneq1, e quer mostrar que a soma dos n primeiros termos
Sn=a1+a2+cdots+an
é dada por
Sn=an,q - a1q-1,
O conteúdo é soma de P.G., e o que vamos precisar é entender o termo geral da P.G. ( ak=a1q^,k-1) e usar um truque de multiplicar a soma por q e subtrair para “telescopar” os termos.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a soma explicitamente em função de a1 e q:
Sn=a1+a1q+a1q^2+cdots+a1q^,n-1 ;=;sumk=0^n-1a1q^k,
Agora, multiplica tudo por q:
q,Sn=a1q+a1q^2+cdots+a1q^,n,

Passo 3

A ideia clássica é subtrair essas duas somas pra “cancelar” quase tudo:
q,Sn-Sn &= l(a1q+a1q^2+cdots+a1q^nr) -l(a1+a1q+cdots+a1q^,n-1r) &= a1q^n - a1,
No passo anterior a gente viu que a1q^n=an,q, porque an=a1q^,n-1.

Passo 4

Reescrevendo a subtração:
(q-1),Sn=an,q - a1
Como qneq1, podemos isolar Sn dividindo por (q-1):
Sn=an,q - a1q-1,

Resposta

Sn=an,q - a1q-1,

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