Considere a progressão geométrica (P.G.) de razão
e primeiro termo
.
Mostre que a soma
dos
primeiros termos desta progressão é dada por
.
Mostre que a soma
Passo 1
Beleza, então o enunciado tá dizendo que a gente tem uma progressão geométrica (P.G.) com primeiro termo
e razão
, e quer mostrar que a soma dos
primeiros termos
é dada por
O conteúdo é soma de P.G., e o que vamos precisar é entender o termo geral da P.G. (
) e usar um truque de multiplicar a soma por
e subtrair para “telescopar” os termos.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a soma explicitamente em função de
e
:
Agora, multiplica tudo por
Passo 3
A ideia clássica é subtrair essas duas somas pra “cancelar” quase tudo:
No passo anterior a gente viu que
, porque
.
Passo 4
Reescrevendo a subtração:
Como
, podemos isolar
dividindo por
: