Determine a solução geral das equações diferenciais não homogêneas:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial:
Conteúdo da matéria: equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
1) Solução da equação homogênea associada (achar raízes da equação característica).
2) Solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados, já que o lado direito é um polinômio.
Passo 2
Primeiro achamos a parte homogênea, ou seja, resolvemos
Para isso montamos a equação característica:
Isso é um polinômio em
. Vamos achar suas raízes.
Passo 3
Resolvendo
pelo “across” ou fórmula de Bhaskara:
Logo
Como as raízes são distintas e reais, a solução da homogênea é
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
para
usando método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é um polinômio de 1º grau, chutamos
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 5
Calcular derivadas de
:
Substituindo em
Isso dá
Agora igualamos coeficientes de
1) Coeficiente de
2) Constantes:
Então
Resposta
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: