Determine a solução geral das equações diferenciais não homogêneas:
y^prime prime-4 y^prime+3 y=2 x+1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial:
y'' - 4y' + 3y = 2x + 1
Conteúdo da matéria: equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
1) Solução da equação homogênea associada (achar raízes da equação característica).
2) Solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados, já que o lado direito é um polinômio.

Passo 2

Primeiro achamos a parte homogênea, ou seja, resolvemos
y'' - 4y' + 3y = 0
Para isso montamos a equação característica:
r^2 - 4r + 3 = 0
Isso é um polinômio em r. Vamos achar suas raízes.

Passo 3

Resolvendo r^2 -4r +3 =0 pelo “across” ou fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4cdot1cdot32 = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22
Logo
r1 = 4+22 = 3, r2 = 4-22 = 1
Como as raízes são distintas e reais, a solução da homogênea é
yh(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^3x + C2 e^x

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular yp para
y'' - 4y' + 3y = 2x + 1
usando método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é um polinômio de 1º grau, chutamos
yp(x) = A x + B,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 5

Calcular derivadas de yp:
yp'(x) = A, yp''(x) = 0
Substituindo em y'' - 4y' + 3y = 2x +1:
0 - 4(A) + 3(Ax + B) = 2x + 1
Isso dá
3A x + (3B - 4A) = 2x + 1
Agora igualamos coeficientes de x e termo constante:
1) Coeficiente de x: 3A = 2 implies A = tfrac23
2) Constantes: 3B - 4A = 1 implies 3B - 4cdot23 = 1 implies 3B - 83 = 1 implies 3B = 1 + 83 = 113 implies B = 119
Então
yp(x) = 23x + 119

Resposta

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
boxedy(x) = C1 e^3x + C2 e^x + 23x + 119

Exercícios relacionados