Os dados a seguir referem-se à distância necessária para um veículo parar versus a velocidade na qual ele começa a frenagem.
Distância de frenagem (m) 20 35 80 110 150
Velocidade (km/h) 20 30 40 50 60
(A) Calcule a taxa de variação da distância de frenagem a uma velocidade de 96,5 km / h usando (i) a fórmula de diferença regressiva com dois pontos, e (ii) a fórmula de diferença regressiva com três pontos.
(B) Estime a distância de frenagem a 110 km / h usando os resultados obtidos na letra (a) e a fórmula de diferença central com dois pontos a uma velocidade de 96,5 km / h.

Passo 1

Beleza, a ideia é aproximar a derivada da função “distância de frenagem f(v)” a partir dos dados tabulados em velocidades v=20,30,40,50,60 km/h, usando fórmulas de diferenças finitas. Depois, com essa derivada, a gente faz uma extrapolação linear para estimar f(110). Vamos precisar de:
• Os valores f(40)=80, f(50)=110, f(60)=150 (m)
• O passo h entre as velocidades, que é 10 km/h
• As fórmulas de diferença regressiva (backward) de 2 e 3 pontos e a de diferença central de 2 pontos.

Passo 2

(A)(i) Diferença regressiva de dois pontos em v=60 (h=10):
f'(60)approxf(60)-f(50)h =150-11010=4m/(km/h)

Passo 3

(A)(ii) Diferença regressiva de três pontos em v=60:
f'(60)approx3,f(60)-4,f(50)+f(40)2h =3cdot150-4cdot110+802cdot10 =450-440+8020 =9020=4,5m/(km/h)

Passo 4

(B) Agora vamos usar diferença central de dois pontos para derivada em v=50 (pois em v=60 faltaria f(70)), e depois extrapolar até 110 km/h por linearização.
– Diferença central em v=50:
f'(50)approxf(60)-f(40)2h =150-802cdot10 =7020=3,5m/(km/h)
– Extrapolação linear até v=110:
f(110)approx f(60)+f'(50),(110-60) =150+3,5cdot50 =150+175 =325 m

Resposta

(A)(i) 4 m/(km/h)
(A)(ii) 4,5 m/(km/h)
(B) Distância em 110 km/h ≈ 325 m

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