Os dados a seguir mostram a população do Nepal em anos selecionados entre 1980 e 2005.
Ano 1980 1985 1990 1995 2000 2005
População (milhões) 15 17 19,3 22 24,5 27,1
Calcule a taxa de crescimento da população, em milhões por ano, para o ano de 2005.
(A) Use a fórmula de diferença regressiva com dois pontos.
(B) Use a fórmula de diferença regressiva com três pontos.
© Usando a inclinação em 2005 obtida na letra (b), aplique a fórmula de diferença central com dois pontos para extrapolar e prever a população no ano de 2010.

Passo 1

Beleza, o exercício dá a população do Nepal em milhões nos anos 1980, 1985, 1990, 1995, 2000 e 2005, e pede:
  • (A) taxa de crescimento em 2005 usando diferença regressiva de 2 pontos;
  • (B) mesma taxa em 2005, mas com diferença regressiva de 3 pontos;
  • © usando a inclinação do item (B), extrapolar a população em 2010 com diferença central de 2 pontos.
    Tudo isso é aplicação de derivadas numéricas (diferenças finitas). O passo‐a‐passo vai mostrar as fórmulas e cada conta. Note que o espaçamento entre anos é sempre anos.

Passo 2

(A) Diferença regressiva de 2 pontos
Teoria rápida: para aproximar a derivada no último ponto f'(xn)approx f(xn)-f(xn-1)h usando só ele e o anterior f'(2005)approx 27,1 - 24,55 = 2,65 =0,52 , usamos
Aqui e , e . Então
milhões por ano.

Passo 3

(B) Diferença regressiva de 3 pontos
Agora a fórmula mais precisa no ponto final é
f'(xn)approx 3f(xn) - 4f(xn-1) + f(xn-2)2h
Aqui f'(2005)approx 3cdot27,1 -4cdot24,5 +222cdot5 = 81,3 -98 +2210 = 5,310 =0,53 , (ano 2000) e (ano 1995). Então
milhões por ano.

Passo 4

© Extrapolação para 2010 com diferença central de 2 pontos
A diferença central de 2 pontos para derivada em f'(xn)approx f(xn+1) - f(xn-1)2h é
f(xn+1) = f(xn-1) + 2h,f'(xn)
Aqui queremos P(2010)approx 24,5 + 2cdot5cdot0,53 =24,5 +5,3 =29,8 . Isolando:
Já temos , e . Logo
milhões.

Resposta

(A) milhões/ano
(B) milhões/ano
© milhões (população prevista em 2010)

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