Os dados a seguir mostram a população do Nepal em anos selecionados entre 1980 e 2005.
Ano | 1980 | 1985 | 1990 | 1995 | 2000 | 2005 |
---|---|---|---|---|---|---|
População (milhões) | 15 | 17 | 19,3 | 22 | 24,5 | 27,1 |
Calcule a taxa de crescimento da população, em milhões por ano, para o ano de 2005.
(A) Use a fórmula de diferença regressiva com dois pontos.
(B) Use a fórmula de diferença regressiva com três pontos.
© Usando a inclinação em 2005 obtida na letra (b), aplique a fórmula de diferença central com dois pontos para extrapolar e prever a população no ano de 2010.
(A) Use a fórmula de diferença regressiva com dois pontos.
(B) Use a fórmula de diferença regressiva com três pontos.
© Usando a inclinação em 2005 obtida na letra (b), aplique a fórmula de diferença central com dois pontos para extrapolar e prever a população no ano de 2010.
Passo 1
Beleza, o exercício dá a população do Nepal em milhões nos anos 1980, 1985, 1990, 1995, 2000 e 2005, e pede:
- (A) taxa de crescimento em 2005 usando diferença regressiva de 2 pontos;
- (B) mesma taxa em 2005, mas com diferença regressiva de 3 pontos;
- © usando a inclinação do item (B), extrapolar a população em 2010 com diferença central de 2 pontos.
Tudo isso é aplicação de derivadas numéricas (diferenças finitas). O passo‐a‐passo vai mostrar as fórmulas e cada conta. Note que o espaçamento entre anos é sempreanos.
Passo 2
(A) Diferença regressiva de 2 pontos
Teoria rápida: para aproximar a derivada no último ponto usando só ele e o anterior
, usamos
Teoria rápida: para aproximar a derivada no último ponto
Aqui
e
, e
. Então
milhões por ano.
Passo 3
(B) Diferença regressiva de 3 pontos
Agora a fórmula mais precisa no ponto final é
Agora a fórmula mais precisa no ponto final é
Aqui
,
(ano 2000) e
(ano 1995). Então
milhões por ano.
Passo 4
© Extrapolação para 2010 com diferença central de 2 pontos
A diferença central de 2 pontos para derivada em é
A diferença central de 2 pontos para derivada em
Aqui queremos
. Isolando:
Já temos
,
e
. Logo
milhões.
Resposta
(A)
milhões/ano
(B) milhões/ano
© milhões (população prevista em 2010)
(B)
©