Considere a EDO de primeira ordem a seguir:
d yd x=y x-x^3 de x=0 a x=1,8 com y(0)=1
Resolva a equação usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico com h=0,6. A solução analítica da EDO é: y=x^2-e^12 x^2+2. Em cada letra, calcule o erro existente entre a solução exata e a solução numérica nos pontos em que a solução numérica é determinada.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a equação diferencial
dydx = x,y ;-; x^3,
com condição inicial yrm exata(x) ;=; x^2 ;-; e^tfrac12x^2 ;+;2 , e queremos resolver de erro = l|yrm num(xi) - yrm exata(xi)r|, até usando o método de Runge–Kutta clássico de ordem 4 com passo . Além disso, a solução exata é
Vamos precisar:
  • Entender a fórmula do RK4 (os ).
  • Aplicá-la passo a passo nos pontos , , , .
  • Calcular o erro em cada ponto:

Passo 2

Método de Runge–Kutta 4 (para passar de k1 &= h,fl(xn,ynr), k2 &= h,fl(xn+tfrac h2,;yn+tfrack12r), k3 &= h,fl(xn+tfrac h2,;yn+tfrack22r), k4 &= h,fl(xn+h,;yn+k3r), yn+1 &= yn + k1 + 2k2 + 2k3 + k46 a k1 &= 0,6l(0cdot1 - 0^3r)=0, k2 &=0,6l(0,3cdot1 - 0,3^3r) =0,6,(0,3 - 0,027)=0,6cdot0,273=0,1638, k3 &=0,6l(0,3cdot(1+0,1638/2) - 0,3^3r) =0,6l(0,3cdot1,0819 - 0,027r) =0,178542, k4 &=0,6l(0,6cdot(1+0,178542) - 0,6^3r) =0,6l(0,7071252 -0,216r) =0,29467512, y1 &= 1 + 0 + 2cdot0,1638 + 2cdot0,178542 + 0,294675126 =1,16322652, , yrm exata(0,6)=0,36 ;-; e^0,6^2/2+2 =0,36 - e^0,18 +2 approx1,162783, ):
Aqui . Vamos começar em , .
Para :
Agora a exata em :
erro

Passo 3

Próximo passo, k1 &=0,6l(0,6cdot1,1632265 -0,6^3r) =0,6,(0,6979359 -0,216)=0,2891615, k2 &=0,6l(0,9cdot(1,1632265+0,2891615/2)-0,9^3r) =0,2688159, k3 &=0,6l(0,9cdot(1,1632265+0,2688159/2)-0,9^3r) =0,2633226, k4 &=0,6l(1,2cdot(1,1632265+0,2633226)-1,2^3r) =-0,0096846, y2 &=1,1632265 + 0,2891615+2cdot0,2688159+2cdot0,2633226 -0,00968466 approx1,3855714 , yrm exata(1,2)=1,44 - e^0,72+2 approx1,385567, :
Exata em :
erro

Passo 4

Finalmente, k1 &=0,6l(1,2cdot1,3855714 -1,2^3r) =-0,0391886, k2 &=0,6l(1,5cdot(1,3855714 -0,0391886/2)-1,5^3r) =-0,7956206, k3 &=0,6l(1,5cdot(1,3855714 -0,7956206/2)-1,5^3r) =-1,1360150, k4 &=0,6l(1,8cdot(1,3855714 -1,1360150)-1,8^3r) =-3,2296791, y3 &=1,3855714 + -0,0391886+2(-0,7956206)+2(-1,1360150)+(-3,2296791)6 approx0,1968816 , yrm exata(1,8)=3,24 - e^1,62+2 approx0,1867, :
Exata em :
erro

Resposta

Nos pontos calculados:
x=0,6: y_num≈1,16323, erro≈4,4·10⁻⁴
x=1,2: y_num≈1,38557, erro≈4,4·10⁻⁶
x=1,8: y_num≈0,19688, erro≈1,02·10⁻²

Exercícios relacionados