A partir dos dados a seguir,
x 0,398 0,399 0,400 0,401 0,402
f(x) 0,408591 0,409671 0,410752 0,411834 0,412915
determine a derivada primeira f^prime(x) no ponto x=0,399. Use a fórmula de diferença central com dois pontos.

Passo 1

Beleza, o problema dá uma tabelinha de valores de f'(x)approx f(x+h)-f(x-h)2h e e pede a derivada primeira no ponto .
Conteúdo: diferenciação numérica usando diferenças finitas.
O que vamos precisar: a fórmula de diferença central com dois pontos, que é

Passo 2

Teoria rapidinha: a definição de derivada é
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h,
mas como a gente só tem dados discretos, a gente usa aproximações com diferenças. A diferença central é legal porque usa pontos dos dois lados e dá erro de ordem , ou seja, é mais precisa que a diferença só pra frente ou pra trás.

Passo 3

Identificar o passo 0,398,;0,399,;0,400, : olhando na tabela, os h=0,001 são
cada intervalo é . Então

Passo 4

Substituindo na fórmula
f'(0,399)approx f(0,399+0,001)-f(0,399-0,001)2cdot0,001 =f(0,400)-f(0,398)0,002
Pela tabela,
f(0,400)=0,410752, f(0,398)=0,408591,
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f'(0,399)approx 0,410752-0,4085910,002 =0,0021610,002 =1,0805

Resposta

boxedf'(0,399)approx 1,0805

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