Considere a equação y=(1+x^2)^x para x >= 0 e y >= 1. (a) Mostre dado qualquer y >= 1, a equação tem una única solução x in R, ou seja, a função f(x)=(1+x^2)^x, x >= 0, admite uma inversa, a qual chamamos de g. (b) Determine g^prime(y) implícitamente em termos de g(y).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = l(1 + x^2r)^x,
para x>=0, e pede em (a) que mostremos que, dado qualquer y>=1, a equação
y = l(1 + x^2r)^x
tem uma única solução xinR. Em outras palavras, precisamos mostrar que f é estritamente crescente em [0,infty) e que seu valor mínimo é f(0)=1 e limxtoinftyf(x)=infty, garantindo existência, unicidade e inversibilidade. Na parte (b) queremos encontrar g'(y), onde g é a inversa de f, por diferenciação implícita.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f. Escrevendo
f(x) = e^,xln(1+x^2),
temos
f'(x) = f(x),ddxl[xln(1+x^2)r] = (1+x^2)^xl(ln(1+x^2) + xcdot2x1+x^2r) = (1+x^2)^xl(ln(1+x^2) + 2x^21+x^2r)
Para x>0, ln(1+x^2)>0 e tfrac2x^21+x^2>0, logo f'(x)>0. Em x=0 temos f(0)=1. Além disso, claramente limxtoinfty(1+x^2)^x=infty. Portanto f é contínua, estritamente crescente e varia de 1 a infty.

Passo 3

Como f é estritamente crescente e Im(f)=[1,infty), para todo y>=1 existe exatamente um x>=0 tal que f(x)=y. Isso prova a parte (a): f admite inversa gcolon[1,infty)to[0,infty).

Passo 4

Para achar g'(y) fazemos diferenciação implícita em
y = (1+x^2)^x,
onde x=g(y). Tomando logaritmo,
ln y = xln(1+x^2)
Diferenciando ambos os lados em relação a y, lembrando que dx/dy = g'(y), obtemos
1y,dydx = ln(1+x^2) + 2x^21+x^2
Invertendo tfracdydx para tfracdxdy,
g'(y) = dxdy = 1yl(ln(1+x^2) + tfrac2x^21+x^2r),
e finalmente substituímos x = g(y) para escrever tudo em termos de g(y).

Resposta

g'(y) = 1,yl[lnl(1+g(y)^2r) + dfrac2,g(y)^21+g(y)^2r],

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