Considere a equação
para
e
. (a) Mostre dado qualquer
, a equação tem una única solução
, ou seja, a função
, admite uma inversa, a qual chamamos de
. (b) Determine
implícitamente em termos de
.
Passo 1
O enunciado define a função
para
, e pede em (a) que mostremos que, dado qualquer
, a equação
tem uma única solução
. Em outras palavras, precisamos mostrar que
é estritamente crescente em
e que seu valor mínimo é
e
, garantindo existência, unicidade e inversibilidade. Na parte (b) queremos encontrar
, onde
é a inversa de
, por diferenciação implícita.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
. Escrevendo
temos
Para
,
e
, logo
. Em
temos
. Além disso, claramente
. Portanto
é contínua, estritamente crescente e varia de
a
.
Passo 3
Como
é estritamente crescente e
, para todo
existe exatamente um
tal que
. Isso prova a parte (a):
admite inversa
.
Passo 4
Para achar
fazemos diferenciação implícita em
onde
. Tomando logaritmo,
Diferenciando ambos os lados em relação a
, lembrando que
, obtemos
Invertendo
para
,
e finalmente substituímos
para escrever tudo em termos de
.