Questão 01: (2.0)
Calcule o polinômio quadrático de Lagrange e de Newton, a partir dos dados da tabela para determinar uma aproximação para y (3). Calcule o erro da aproximação do polinômio de Newton:
0,3 1,8
2,75 1,9
4,5 3,1
5,95 3,9
7,8 3,3

Passo 1

O enunciado dá os pontos
(x0,y0)=(0,3,,1,8), (x1,y1)=(2,75,,1,9), (x2,y2)=(4,5,,3,1), (x3,y3)=(5,95,,3,9),;ldots
e pede o polinômio quadrático de Lagrange e de Newton usando três pontos para aproximar y(3), mais o erro dessa aproximação via Newton. Vamos usar interpolação quadrática e, para o erro, a fórmula do resto em diferenças divididas de ordem 3.

Passo 2

Escolhemos os três nós mais próximos de x=3, que são x0=0,3, x1=2,75, x2=4,5.

Passo 3

Montamos o polinômio de Lagrange P2(x):
P2(x)=sumi=0^2 yi;elli(x),
onde
ell0(x)=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2), ell1(x)=(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2), ell2(x)=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)
Substituindo os números,
(x0-x1)(x0-x2)=(0,3-2,75)(0,3-4,5)=(-2,45)(-4,2)=10,29,
(x1-x0)(x1-x2)=(2,75-0,3)(2,75-4,5)=2,45cdot(-1,75)=-4,2875,
(x2-x0)(x2-x1)=(4,5-0,3)(4,5-2,75)=4,2cdot1,75=7,35
Logo
P2(x)=1,8(x-2,75)(x-4,5)10,29 +1,9(x-0,3)(x-4,5)-4,2875 +3,1(x-0,3)(x-2,75)7,35

Passo 4

Montamos o polinômio de Newton na forma
P2(x)=y0 + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
Calculamos as diferenças divididas:
f[x0,x1]=1,9-1,82,75-0,3=0,0408163, f[x1,x2]=3,1-1,94,5-2,75=0,6857143,
f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]4,5-0,3 =0,6857143-0,04081634,2=0,153547
Assim
P2(x)=1,8 +0,0408163,(x-0,3) +0,153547,(x-0,3)(x-2,75)
Aproximando em x=3:
P2(3)=1,8 +0,0408163cdot2,7 +0,153547cdot2,7cdot0,25approx2,0132

Passo 5

Para o erro usamos o resto em diferenças divididas de ordem 3:
R2(3)=f[x0,x1,x2,x3],(3-x0)(3-x1)(3-x2),
onde x3=5,95,;y3=3,9.
Calculamos as diferenças de ordem 3:
f[x2,x3]=3,9-3,15,95-4,5=0,551724,
f[x1,x2,x3] =0,551724-0,68571435,95-2,75 =-0,041871,
f[x0,x1,x2,x3] =-0,041871-0,1535475,95-0,3 =-0,034577
Logo
R2(3)=-0,034577cdot(3-0,3),(3-2,75),(3-4,5) approx0,0350

Resposta

Polinômio de Lagrange:
P2(x)=1,8(x-2,75)(x-4,5)10,29 +1,9(x-0,3)(x-4,5)-4,2875 +3,1(x-0,3)(x-2,75)7,35
Polinômio de Newton:
P2(x)=1,8 +0,0408163,(x-0,3) +0,153547,(x-0,3)(x-2,75),
com P2(3)approx2,0132.
Erro estimado
R2(3)approx0,0350

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