Questão 02: (0.5) Quais as vantagens do Polinômio de Lagrange e de Newton em relação a obtenção do polinômio por definição de interpolação. Quais as vantagens do polinômio de Newton em relação ao polinômio de Lagrange?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre as vantagens das fórmulas de interpolação de Lagrange e de Newton em comparação com a obtenção do polinômio interpolador pela “definição” (isto é, montando e invertendo a matriz de Vandermonde). Depois, pede para apontar quais vantagens o polinômio de Newton tem sobre o de Lagrange. O conteúdo aqui é interpolação polinomial e as fórmulas fechadas que evitam resolver sistemas lineares de grande ordem.

Passo 2

Tanto o polinômio de Lagrange quanto o de Newton fornecem uma forma explícita de escrever o polinômio interpolador de grau n passando pelos pontos (x0,y0),dots,(xn,yn) sem precisar montar nem inverter a matriz de Vandermonde. Mais precisamente:
1) Em vez de resolver um sistema V,a=y com Vij=xi^j, cada coeficiente surge diretamente do valor de yi e das chamadas funções base elli(x) (em Lagrange) ou dos quocientes divididos (em Newton).
2) Isso reduz o trabalho algébrico e melhora a estabilidade numérica, pois evita a formação de coeficientes de alta magnitude típicos da inversão de Vandermonde.
3) Além disso, essas fórmulas permitem escrever diretamente
P(x)=sumi=0^n yi,elli(x)
ou
P(x)=a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + cdots + an,(x-x0)cdots(x-xn-1),
sem resolver sistemas lineares.

Passo 3

O polinômio de Newton apresenta vantagens adicionais sobre o de Lagrange:
– Incrementalidade: se eu ganhar um novo ponto (xn+1,yn+1), basta computar um único quociente dividido extra e acrescentar mais um termo, sem recalcular tudo.
– Avaliação eficiente: graças à forma aninhada (Horner estendido), avaliar P(x) custa O(n) operações, enquanto na forma de Lagrange são O(n^2).
– Reuso de cálculos: os quocientes divididos de ordem inferior já calculados servem para todos os passos seguintes, evitando recomputação das bases completas.

Resposta

As vantagens de Lagrange e de Newton frente ao método “definição” são:
bul<=t não há necessidade de montar nem inverter a matriz de Vandermonde, basta usar funções base ou quocientes divididos;
bul<=t obtenção direta dos coeficientes do polinômio e melhoria da estabilidade numérica.
As vantagens do polinômio de Newton sobre o de Lagrange são:
bul<=t possibilidade de adicionar novos pontos sem refazer todo o cálculo (incrementalidade);
bul<=t avaliação do polinômio em um ponto em tempo linear via algoritmo de Horner estendido;
bul<=t reaproveitamento dos quocientes divididos já computados.

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