Questão 02: (0.5) Quais as vantagens do Polinômio de Lagrange e de Newton em relação a obtenção do polinômio por definição de interpolação. Quais as vantagens do polinômio de Newton em relação ao polinômio de Lagrange?
Passo 1
O enunciado pergunta sobre as vantagens das fórmulas de interpolação de Lagrange e de Newton em comparação com a obtenção do polinômio interpolador pela “definição” (isto é, montando e invertendo a matriz de Vandermonde). Depois, pede para apontar quais vantagens o polinômio de Newton tem sobre o de Lagrange. O conteúdo aqui é interpolação polinomial e as fórmulas fechadas que evitam resolver sistemas lineares de grande ordem.
Passo 2
Tanto o polinômio de Lagrange quanto o de Newton fornecem uma forma explícita de escrever o polinômio interpolador de grau
passando pelos pontos
sem precisar montar nem inverter a matriz de Vandermonde. Mais precisamente:
) Em vez de resolver um sistema
com
, cada coeficiente surge diretamente do valor de
e das chamadas funções base
(em Lagrange) ou dos quocientes divididos (em Newton).
) Isso reduz o trabalho algébrico e melhora a estabilidade numérica, pois evita a formação de coeficientes de alta magnitude típicos da inversão de Vandermonde.
) Além disso, essas fórmulas permitem escrever diretamente
ou
sem resolver sistemas lineares.
Passo 3
O polinômio de Newton apresenta vantagens adicionais sobre o de Lagrange:
– Incrementalidade: se eu ganhar um novo ponto , basta computar um único quociente dividido extra e acrescentar mais um termo, sem recalcular tudo.
– Avaliação eficiente: graças à forma aninhada (Horner estendido), avaliar custa
operações, enquanto na forma de Lagrange são
.
– Reuso de cálculos: os quocientes divididos de ordem inferior já calculados servem para todos os passos seguintes, evitando recomputação das bases completas.
– Incrementalidade: se eu ganhar um novo ponto
– Avaliação eficiente: graças à forma aninhada (Horner estendido), avaliar
– Reuso de cálculos: os quocientes divididos de ordem inferior já calculados servem para todos os passos seguintes, evitando recomputação das bases completas.
Resposta
As vantagens de Lagrange e de Newton frente ao método “definição” são:
não há necessidade de montar nem inverter a matriz de Vandermonde, basta usar funções base ou quocientes divididos;
obtenção direta dos coeficientes do polinômio e melhoria da estabilidade numérica.
As vantagens do polinômio de Newton sobre o de Lagrange são:
possibilidade de adicionar novos pontos sem refazer todo o cálculo (incrementalidade);
avaliação do polinômio em um ponto em tempo linear via algoritmo de Horner estendido;
reaproveitamento dos quocientes divididos já computados.