Discuta o número de raízes reais do polinômio f(x)=3 x^4+4 x^3+C ein função do parâmetro C in R.

Passo 1

O enunciado pede para discutir o número de raízes reais de
f(x)=3x^4+4x^3+C
em função do parâmetro CinR. O conteúdo necessário é análise de derivada para encontrar monotonicidade e extremos locais, depois verificar quantas vezes o gráfico cruza o eixo x.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=ddxl(3x^4+4x^3+Cr)=12x^3+12x^2=12x^2(x+1)
Os pontos críticos são as raízes de f'(x), isto é, x=0 (multiplicidade 2) e x=-1.

Passo 3

Analisando o sinal de f'(x)=12x^2(x+1): como 12x^2>=0, o sinal fica a cargo de (x+1). Logo
  • Para x<-1: x+1<0implies f'<0 (função decrescente).
  • Para x>-1: x+1>0implies f'>0 (função crescente).
    Em particular, para x à esquerda e à direita de 0 a derivada é positiva, de modo que x=0 é ponto de inflexão horizontal, e o único extremo local ocorre em x=-1, sendo um mínimo.

Passo 4

Calculamos os valores de f nos pontos críticos:
f(-1)=3(-1)^4+4(-1)^3+C=3-4+C=C-1,
f(0)=C
Como limxtopminftyf(x)=+infty e há apenas um mínimo local em x=-1, o gráfico vem de +infty, atinge f(-1)=C-1, e volta a subir para +infty.

Passo 5

A partir do sinal de f(-1)=C-1 concluímos:
  • Se C-1>0 (isto é, C>1), então f(-1)>0 e o polinômio nunca corta o eixo x. Número de raízes reais: 0.
  • Se C-1=0 (isto é, C=1), então f(-1)=0 é o valor mínimo e ocorre um toque tangencial em x=-1 (raiz de multiplicidade 2). Número de raízes reais: 1 (dupla).
  • Se C-1<0 (isto é, C<1), então f(-1)<0 e o gráfico corta o eixo x duas vezes (uma antes de -1 e outra depois). Número de raízes reais: 2 (simples).

Resposta

Para o polinômio f(x)=3x^4+4x^3+C:
  • Se C>1: não há raízes reais.
  • Se C=1: há exatamente uma raiz real em x=-1 (multiplicidade 2).
  • Se C<1: há duas raízes reais simples.

Exercícios relacionados