Discuta o número de raízes reais do polinômio
ein função do parâmetro
.
Passo 1
O enunciado pede para discutir o número de raízes reais de
em função do parâmetro
. O conteúdo necessário é análise de derivada para encontrar monotonicidade e extremos locais, depois verificar quantas vezes o gráfico cruza o eixo
.
Passo 2
Calculamos a derivada
Os pontos críticos são as raízes de
, isto é,
(multiplicidade 2) e
.
Passo 3
Analisando o sinal de
: como
, o sinal fica a cargo de
. Logo
- Para
: (função decrescente). - Para
: (função crescente).
Em particular, paraà esquerda e à direita de a derivada é positiva, de modo que é ponto de inflexão horizontal, e o único extremo local ocorre em , sendo um mínimo.
Passo 4
Calculamos os valores de
nos pontos críticos:
Como
e há apenas um mínimo local em
, o gráfico vem de
, atinge
, e volta a subir para
.
Passo 5
A partir do sinal de
concluímos:
- Se
(isto é, ), então e o polinômio nunca corta o eixo . Número de raízes reais: 0. - Se
(isto é, ), então é o valor mínimo e ocorre um toque tangencial em (raiz de multiplicidade 2). Número de raízes reais: 1 (dupla). - Se
(isto é, ), então e o gráfico corta o eixo duas vezes (uma antes de e outra depois). Número de raízes reais: 2 (simples).
Resposta
Para o polinômio
:
- Se
: não há raízes reais. - Se
: há exatamente uma raiz real em (multiplicidade 2). - Se
: há duas raízes reais simples.