Considere a equação x^3-2 x^2+3 x-5=0.
  1. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
  2. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que 10^-4.
  3. Calcule uma das soluções com erro menor que varepsilon=10^-6 usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar raízes da equação
f(x)=x^3-2x^2+3x-5=0
Isso é conteúdo de Métodos Numéricos: vamos usar
  1. Teorema do Valor Intermediário pra localizar (e isolar) a raiz real;
  2. Método da Bissecção e sua fórmula de erro ;
  3. Método de Newton (que usa ) pra comparar quantas iterações precisa pra chegar a certa precisão.

Passo 2

Localizar e isolar a raiz real:
– Calcule e .
Como <0 e >0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em .
Como o polinômio é de grau 3 com coeficientes reais e só muda de sinal uma vez entre inteiros, concluímos que há exatamente uma raiz real em (as outras duas são complexas conjugadas).

Passo 3

Quantas iterações do método da bissecção pra erro b-a2^n<=10^-4, ?
A cada iteração a largura do intervalo cai pela metade, e o erro máximo fica
12^n<=10^-4Longrightarrow 2^n>=10^4Longrightarrow n>=log2(10^4)approx13.29
com n=14 , .
Então
Como tem que ser inteiro, precisamos de
iterações para garantir erro menor que .

Passo 4

Agora vamos calcular a raiz em 12^n<=10^-6;Longrightarrow;n>=log2(10^6)approx19.93 ;Longrightarrow;n=20 iterações até erro f(x)=x^3-2x^2+3x-5, f'(x)=3x^2-4x+3 usando:
a) Bissecção,
b) Método de Newton,
e comparar o número de iterações.
a) Bissecção para xk+1=xk-f(xk)f'(xk) :
çõ
b) Método de Newton:
Escolhemos chute inicial e iteramos
Vamos aos valores aproximados (até diferença ):
x₀ = 1.500000
x₁ = 1.933333 (diferença ≈0.433333)
x₂ = 1.848636 (diferença ≈0.084697)
x₃ = 1.843718 (diferença ≈0.004918)
x₄ = 1.843495 (diferença ≈0.000223)
x₅ = 1.843461 (diferença ≈0.000034)
x₆ = 1.843464 (diferença ≈0.000003) < 10⁻⁶
Ou seja, em 6 iterações chegamos em com erro menor que .

Resposta

Raiz real isolada em xapprox1.843463 , com aproximação
– Bissecção para erro : 14 iterações.
– Bissecção para erro : 20 iterações.
– Newton para erro : 6 iterações.

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