Considere a equação
.
- Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
- Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que
.
- Calcule uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar raízes da equação
Isso é conteúdo de Métodos Numéricos: vamos usar
- Teorema do Valor Intermediário pra localizar (e isolar) a raiz real;
- Método da Bissecção e sua fórmula de erro
; - Método de Newton (que usa
) pra comparar quantas iterações precisa pra chegar a certa precisão.
Passo 2
Localizar e isolar a raiz real:
– Calcule e
.
Como <0 e
>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em
.
Como o polinômio é de grau 3 com coeficientes reais e só muda de sinal uma vez entre inteiros, concluímos que há exatamente uma raiz real em (as outras duas são complexas conjugadas).
– Calcule
Como
Como o polinômio é de grau 3 com coeficientes reais e só muda de sinal uma vez entre inteiros, concluímos que há exatamente uma raiz real em
Passo 3
Quantas iterações do método da bissecção pra erro
?
A cada iteração a largura do intervalo cai pela metade, e o erro máximo fica
A cada iteração a largura do intervalo cai pela metade, e o erro máximo fica
com
,
.
Então
Então
Como
tem que ser inteiro, precisamos de
iterações para garantir erro menor que
.
Passo 4
Agora vamos calcular a raiz em
até erro
usando:
a) Bissecção,
b) Método de Newton,
e comparar o número de iterações.
a) Bissecção,
b) Método de Newton,
e comparar o número de iterações.
a) Bissecção para
:
b) Método de Newton:
Escolhemos chute inicial
e iteramos
Vamos aos valores aproximados (até diferença
):
x₀ = 1.500000
x₁ = 1.933333 (diferença ≈0.433333)
x₂ = 1.848636 (diferença ≈0.084697)
x₃ = 1.843718 (diferença ≈0.004918)
x₄ = 1.843495 (diferença ≈0.000223)
x₅ = 1.843461 (diferença ≈0.000034)
x₆ = 1.843464 (diferença ≈0.000003) < 10⁻⁶
x₁ = 1.933333 (diferença ≈0.433333)
x₂ = 1.848636 (diferença ≈0.084697)
x₃ = 1.843718 (diferença ≈0.004918)
x₄ = 1.843495 (diferença ≈0.000223)
x₅ = 1.843461 (diferença ≈0.000034)
x₆ = 1.843464 (diferença ≈0.000003) < 10⁻⁶
Ou seja, em 6 iterações chegamos em
com erro menor que
.
Resposta
Raiz real isolada em
, com aproximação
– Bissecção para erro
: 14 iterações.
– Bissecção para erro : 20 iterações.
– Newton para erro : 6 iterações.
– Bissecção para erro
– Newton para erro