Considere a equação
.
- Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
- Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que
.
- Calcule uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
Passo 1
Beleza, amigo, vamos estudar a equação
ou seja, queremos achar
tal que
Conteúdo: métodos numéricos de localização de raízes (bissecção e Newton).
O que a gente vai precisar:
O que a gente vai precisar:
- Saber isolar um intervalo onde
muda de sinal (garante uma raiz). - Fórmula do critério de erro da bissecção: depois de
iterações, o tamanho do intervalo é . - Fórmula do método de Newton:
onde aqui
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar onde a raiz fica. Note que
e
Como e
, por continuidade existe pelo menos uma raiz em
.
Além disso, , ou seja,
é estritamente crescente e só tem UMA raiz.
Logo: o intervalo isolado é .
Como
Além disso,
Logo: o intervalo isolado é
Passo 3
Agora, quantas iterações do método da bissecção precisamos para ter erro menor que
?
Se o intervalo inicial tem comprimento , depois de
iterações o novo intervalo vale
.
Queremos .
Tirando log na base 2:
Se o intervalo inicial tem comprimento
Queremos
Tirando log na base 2:
Como
é inteiro, precisamos de
iterações para garantir erro abaixo de
.
Passo 4
Vamos comparar agora bissecção e Newton para chegar a
.
- Bissecção: queremos
Então
iterações.
- Newton: escolhemos
(ponto no nosso intervalo).
A cada iteração:
Fazendo as contas (aproximadas):
-
. -
. -
, com diferença da ordem de .
Ou seja, em 3 iterações já ultrapassamos a precisão
.
Resposta
- Raiz única isolada em
, cerca de . - Bissecção para erro
: 14 iterações. - Bissecção para erro
: 20 iterações. - Newton para erro
: 3 iterações.