Considere a equação 4 x=cos (x).
  1. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
  2. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que 10^-4.
  3. Calcule uma das soluções com erro menor que varepsilon=10^-6 usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.

Passo 1

Beleza, amigo, vamos estudar a equação
4x = cos(x)
ou seja, queremos achar f(x) = 4x - cos(x) = 0 tal que
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn),
Conteúdo: métodos numéricos de localização de raízes (bissecção e Newton).
O que a gente vai precisar:
  1. Saber isolar um intervalo onde muda de sinal (garante uma raiz).
  2. Fórmula do critério de erro da bissecção: depois de iterações, o tamanho do intervalo é .
  3. Fórmula do método de Newton:
onde aqui .

Passo 2

Primeiro, vamos achar onde a raiz fica. Note que
e

Como e , por continuidade existe pelo menos uma raiz em .
Além disso, , ou seja, é estritamente crescente e só tem UMA raiz.
Logo: o intervalo isolado é .

Passo 3

Agora, quantas iterações do método da bissecção precisamos para ter erro menor que N > log2(10^4) = log(10^4)log(2) = 4log(10)log(2) approx 4cdot10.301 approx 13.3 ?
Se o intervalo inicial tem comprimento , depois de iterações o novo intervalo vale .
Queremos .
Tirando log na base 2:
Como é inteiro, precisamos de iterações para garantir erro abaixo de .

Passo 4

Vamos comparar agora bissecção e Newton para chegar a 12^N < 10^-6 Longrightarrow N > log2(10^6) approx 60.301approx19.93 .
  1. Bissecção: queremos
xn+1 = xn - 4xn - cos(xn)4 + sin(xn)
Então iterações.
  1. Newton: escolhemos (ponto no nosso intervalo).
    A cada iteração:
Fazendo as contas (aproximadas):
  • .
  • .
  • , com diferença da ordem de .
Ou seja, em 3 iterações já ultrapassamos a precisão .

Resposta

  • Raiz única isolada em , cerca de .
  • Bissecção para erro : 14 iterações.
  • Bissecção para erro : 20 iterações.
  • Newton para erro : 3 iterações.

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