Considere a equação x^3-3 x+1=0.
  1. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
  2. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que 10^-4.
  3. Calcule uma das soluções com erro menor que varepsilon=10^-6 usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.

Passo 1

Beleza, a gente tem a equação
x^3 - 3x + 1 = 0
O conteúdo é localização de raízes, método da bissecção e método de Newton. Vamos precisar do Teorema do Valor Intermediário pra achar intervalos onde a função troca de sinal (e tem raiz), da fórmula de erro da bissecção
b-a2^n
e da iteração de Newton
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)

Passo 2

A gente define . Para achar intervalos com raiz, calcula alguns valores:
f(–2)=–1, f(–1)=3 ⇒ muda de sinal em [–2,–1]
f(0)=1, f(1)=–1 ⇒ muda de sinal em [0,1]
f(1)=–1, f(2)=3 ⇒ muda de sinal em [1,2]
Logo há três raízes reais, isoladas em
e

Passo 3

Queremos erro < 1-02^n<10^-4;Longrightarrow;2^n>10^4;Longrightarrow;n>log2(10^4)approx13,29 usando bissecção no intervalo [0,1].
A condição de erro é
n=14 iterações
Como n é inteiro, precisamos de
çõ

Passo 4

Agora escolhemos a raiz em [0,1] e comparamos:
a) Bissecção para 1-02^n<10^-6;Longrightarrow;2^n>10^6;Longrightarrow;n>log2(10^6)approx19,93;Rightarrow;n=20
x1=0.5-f(0.5)f'(0.5)=0.5--0.375-2.25=0.3333333
b) Newton com x2=0.3333333-0.037037-2.666667=0.3472222. Lembra que x3=0.3472222-0.0001977-2.6378=0.3472971.
Iterações:
Aqui , então Newton levou 3 iterações.

Resposta

– As três raízes estão em x1approx-1.879385, x2approx0.347297, x3approx1.532088 , e , com aproximações típicas
– Para erro < na raiz de [0,1] a bissecção pede 14 iterações.
– Para erro < na mesma raiz, bissecção pede 20 iterações e Newton só 3 iterações.

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