Considere a equação
.
- Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
- Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que
.
- Calcule uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
Passo 1
Beleza, a gente tem a equação
O conteúdo é localização de raízes, método da bissecção e método de Newton. Vamos precisar do Teorema do Valor Intermediário pra achar intervalos onde a função troca de sinal (e tem raiz), da fórmula de erro da bissecção
e da iteração de Newton
Passo 2
A gente define
. Para achar intervalos com raiz, calcula alguns valores:
f(–2)=–1, f(–1)=3 ⇒ muda de sinal em [–2,–1]
f(0)=1, f(1)=–1 ⇒ muda de sinal em [0,1]
f(1)=–1, f(2)=3 ⇒ muda de sinal em [1,2]
Logo há três raízes reais, isoladas em
e
f(–2)=–1, f(–1)=3 ⇒ muda de sinal em [–2,–1]
f(0)=1, f(1)=–1 ⇒ muda de sinal em [0,1]
f(1)=–1, f(2)=3 ⇒ muda de sinal em [1,2]
Logo há três raízes reais, isoladas em
Passo 3
Queremos erro <
usando bissecção no intervalo [0,1].
A condição de erro é
A condição de erro é
Como n é inteiro, precisamos de
Passo 4
Agora escolhemos a raiz em [0,1] e comparamos:
a) Bissecção para dá
a) Bissecção para
b) Newton com
. Lembra que
.
Iterações:
Iterações:
Aqui
, então Newton levou 3 iterações.
Resposta
– As três raízes estão em
,
e
, com aproximações típicas
– Para erro <
na raiz de [0,1] a bissecção pede 14 iterações.
– Para erro < na mesma raiz, bissecção pede 20 iterações e Newton só 3 iterações.
– Para erro <