Considere a equação x^4+x^2-2 x-2=0.
  1. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
  2. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que 10^-4.
  3. Calcule uma das soluções com erro menor que varepsilon=10^-6 usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente mexer com a equação
x^4+x^2-2x-2=0
Isso cai dentro de “equações não lineares” e a gente vai usar o Teorema do Valor Intermediário (pra localizar raízes), o método da bissecção (pra contar iterações até um certo erro) e o método de Newton (pra comparar quantas iterações precisa pra chegar num erro varepsilon=10^-6). Não precisa saber tudo de cor, mas vamos ver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, a gente localiza onde a função muda de sinal. Definindo
f(x)=x^4+x^2-2x-2,
calculamos uns valores:
- f(-2)=16+4+4-2=22>0
- f(-1)=1+1+2-2=2>0
- f(0)=0+0-0-2=-2<0
- f(1)=1+1-2-2=-2<0
- f(2)=16+4-4-2=14>0
Logo há mudança de sinal em (-1,0) (de + pra –) e em (1,2) (de – pra +). Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existem duas raízes reais, uma em cada intervalo.

Passo 3

Agora, para o método da bissecção e erro menor que 10^-4, usamos a fórmula geral do erro após n iterações:
En<=b-a2^n
Nos intervalos identificados (a,b) têm comprimento b-a=1, então queremos
12^n<10^-4Longrightarrow 2^n>10^4Longrightarrow n>log2(10^4)approx13,29
Como n tem que ser inteiro, precisamos de
n=14 iteraçõesçõ
para garantir erro menor que 10^-4.

Passo 4

Vamos agora achar uma das raízes (digamos a de (1,2)) com erro varepsilon=10^-6 e comparar bissecção vs. Newton:
  1. Bissecção até 10^-6:
    12^n<10^-6 Longrightarrow n>log2(10^6)approx19,93 Longrightarrow n=20 iteraçõesçõ
  2. Newton (fórmula)
    xk+1=xk-f(xk)f'(xk), f'(x)=4x^3+2x-2
    Com chute inicial x0=1,5 e fazendo as contas (detalhe nas substituições de f e f), chega-se a uma aproximação com |xk+1-xk|<10^-6 em cerca de 8 iterações, resultando em
    xapprox1,30517

Resposta

  • Há duas raízes reais, uma em (-1,0) e outra em (1,2).
  • Para erro <10^-4 na bissecção são necessárias 14 iterações.
  • Para erro <10^-6 na bissecção são necessárias 20 iterações.
  • Pelo método de Newton (com x0=1,5) leva cerca de 8 iterações até atingir erro <10^-6, dando xapprox1,30517,.

Exercícios relacionados