Considere a equação
.
- Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
- Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que
.
- Calcule uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente mexer com a equação
Isso cai dentro de “equações não lineares” e a gente vai usar o Teorema do Valor Intermediário (pra localizar raízes), o método da bissecção (pra contar iterações até um certo erro) e o método de Newton (pra comparar quantas iterações precisa pra chegar num erro
Passo 2
Primeiro, a gente localiza onde a função muda de sinal. Definindo
calculamos uns valores:
-
-
-
-
-
Logo há mudança de sinal em
(de + pra –) e em
(de – pra +). Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existem duas raízes reais, uma em cada intervalo.
Passo 3
Agora, para o método da bissecção e erro menor que
, usamos a fórmula geral do erro após
iterações:
Nos intervalos identificados
Como
tem que ser inteiro, precisamos de
para garantir erro menor que
Passo 4
Vamos agora achar uma das raízes (digamos a de
) com erro
e comparar bissecção vs. Newton:
-
Bissecção até
: -
Newton (fórmula)
Com chute iniciale fazendo as contas (detalhe nas substituições de e ), chega-se a uma aproximação com em cerca de 8 iterações, resultando em
Resposta
- Há duas raízes reais, uma em
e outra em . - Para erro
na bissecção são necessárias 14 iterações. - Para erro
na bissecção são necessárias 20 iterações. - Pelo método de Newton (com
) leva cerca de 8 iterações até atingir erro , dando .